★磁界のエネルギーの公式★

質問

またまた質問です。
磁界のエネルギーの公式を自分で導出してみようと思ってコイルのモデルを考えて計算してみたのですが、うまくいきません。
図のように計算すると(1)式のようにちゃんと公式が出ました。
しかしそれ以上計算を進めてみると(2)のように、W=φiという結果が出てしまいました。
φ＝Liなので、(2)式は、W＝φi＝Li^2
となってしまい(1)と一致しなくなってしまいます。
おそらく、(1)→(2)へ移る途中の式に間違えがあるのでしょうが、何が間違いなのかわかりません。
もちろん、数式に出てくる各量をただの文字として考えてしまえば、数学的（数式的？）に間違えなのは私でもわかります。
dφを０～φで積分してしまえば、φとなって1/2なんて出てくるわけないですから。しかし、物理的なつじつまを合わせたいのです。
どうやったら(1/2)φiという結果が出てくるのでしょうか。
ここまで書いてたらエネルギーのことを理解してないからなんじゃないかと自分で思い始めてますが。まぁ、式がおかしくなるということはそうなんでしょうけど（笑）
どなたかわかりやすい解説をお願いします！

（補足）Lはインダクタンス、iはコイルに流れる電流、eはコイルの起電力、φは磁束です。
数学的な厳密性は無視してます。つまり、diとかdφとかをひとつの量として考えました。あくまでも物理数学としてやりました。

回答No.1

kfnorisu

upされている式ではφとiが独立のようにとらえられていますが、そうではありません。i=φ/Lとして計算してみてください。ただ計算の際に、積分中に動かすiと積分の上限のiが混同します。書き分けて行ってみれば、すぐに出ると思います。