オイラーの公式

質問

ある素人向けの数学の本に　e^iπ＋１＝０　という式が紹介されており、筆者がこの式は数学の美と調和と不思議を示すものとして自分の墓誌に刻んだと書いてありました。
もともとは　e^ix=cosx＋isinx　というオイラーの公式のxをπとおいてこの式が導かれるようですが、そもそもオイラーの公式というのはどのような背景で導き出されたもので、数学的にはどのような意味があるのでしょうか。
自然対数と虚数と三角関数が関連しているということが不思議なのですが、数学の歴史の中では、この式が導き出されたのはなんらかの必然性があったのでしょうか。

回答No.3

starflora · ベストアンサー

わたしは専門家でも何でもないので、よく分からないのですが、「オイラーの公式」と呼んでいる、代数学や微積分の基礎的な公式（というか、対数の底数ｅと円関数（三角関数）が複素数空間で、実は同じものの別表現であったということを示す基本式）は、e^(ix)=cosx＋i*sinx ではなく、e^(ix)=cosx－i*sinx で、e^(-ix)=cosx＋i*sinx であったと思います。（そういう気がしますし、これだと、e^(iπ)＋1＝0 になるからです。

　　そこで、オイラーの公式は、べき乗関数の指数が虚数・複素数の場合にも適用できるとして、テイラー展開を使えば、簡単に出てくるものだと思います。siegmund さんが言っておられる、べき乗関数の指数の有理数、無理数、実数、虚数、複素数への拡張は、厳密な数学的論拠なく、形式的に拡張されたもので、結果的に、この拡張で、豊かな成果が数学にもたらされ、また、このような拡張が妥当であるという公理論的証明が、後の時代に行われたものだとしても、とまれ、拡張は有効であったのです。

　　しかしこのような拡張は、テーラー展開が発見され主張された時には、すでに行われていたはずで、指数関数の底ではなく、指数を連続実数変数とするような微分は、微分積分理論の基礎が構成された時には、すでに拡張され、前提とされていたのではないかということを思います。

　　指数関数の指数の部分が、虚数乃至複素数というのは、どういう数なのか、そのことが判明でしていなかったのが、テイラー級数に代入してみると、オイラーの公式になることから、逆に、ａ^(i)などが、どのような数になるのか、数の拡張が行われ、それは結局、複素数だということになったのではないでしょうか。

　　質問された方の意図から逸れているようにも思いますが、【自然対数と虚数と三角関数が関連しているということが不思議なのですが、数学の歴史の中では、この式が導き出されたのはなんらかの必然性があったのでしょうか】と言う問いに対しては、それは「必然があった」という答えになると思います。

　　後から振り返ってみると、対数の底ｅは、或る関数で、幾ら微分しても、結果は同じである関数は何かという答えとして、それは、e^x であるということが出てきたというか、ｅの定義の仕方のなかに、この答えが含まれていたのだと思います。これは、どういうことかと言いますと、e^x という関数は、グラフで見ると、xがどんどん増えて行けば、加速度的に増えて行くという関数で、xがマイナスの時は、それと逆のことが起こるというだけの関数のように見えるのですが、しかし、微分操作を一回行うごとに元の形に戻るということは、微分という操作に対し、この関数は、「周期性・規則的反復性」を持っていることを意味します。

　　他方、世界の現象には、周期的現象がある訳で、これをもっとも数学的に考えて単純な関数で考えてみると、実はそれは、円関数（三角関数）だということになります。円関数が、周期関数のなかで、もっとも基礎的な関数であるということになります。ここで円周率πというのは、どういう数字かというと、ラジアンという角度単位で円関数の変数を表すと、微分に対し、円関数は周期的に同じものに戻って来るという特徴があり（ラジアンでなくとも周期しますが、余計な係数が段々重なって来ます）、他方、円関数の基本的な周期は、どういう単位で起こるかと言えば、それは、丁度、円を一回回る、２πという数で起こるという意味です。

　　ここで、後からそう思えるのかも知れませんが、微分操作に対し周期性を持つ、ｅを底とする関数の事実と、一般的な周期関数の基本である円関数のあいだには、何か関係があるのではないかということで、両者に関係があれば、当然、ｅとπのあいだにも、密接な関係があるということになります。実数領域では、両者はどう関係するのか分からないのですが、複素数まで関数を広げると、明らかに両者は関係があるというか、実は、同じものの別表現ではないのかということになるのです。それが、オイラーの公式の意味だったと思います。

　　変数を複素数とする、e^(ix) という関数は、実は、複素数空間で、円関数であったというのが、オイラーの公式の意味です。

　　これは、人間の論理理性が構想した複素数空間（実数＋虚数）のなかで、ｅ（対数の基本定数）とπ（円関数の基本定数）が、何か同じものの別の見え方だったのだともいうことの確認になっているのです。そしてどうしてそんなことが起こるのかと言うと、人間の論理思索力が、プラトンのいうイデアー世界を何かの意味で反映しているのだということの間接的証拠なのではないかと言えるのです。複素数空間は、この現実よりも、よりイデアーの世界に属するもので、そこでは、ｅとπが、無関係なものではないということになります。

　　人間の思考のなかで、加算を初めとして、数学的演算が、一定の結果を何時も持ち、人間の経験によってそれは構成されるものではないようで、カントの言い方で、ア・プリオリな知識に属するとされるのは、数学の演算構造が、やはりイデアー的真理だということを示唆している訳です。

　　＋１という基本演算を元に、加算、乗算、べき乗算……と、計算可能関数というのか、演算のアルゴリズムは、まさに、０と＋１があれば、あたかもア・プリオリに存在しているようにも思えるのです。

　　siegmund さんは、「神秘性」について、【算術の 0 と 1，代数学の i，幾何学おなじみのπ，解析学で重要な e 】と述べました。わたしの以上の言葉は、これと同じことを云っているのだとも言えます。

　　この「神秘性」とは、人間の数学的思索が、「普遍性」を備えているように思え、それはア・プリオリ、つまり、経験せずとも人間の精神に刻まれている構造であり、イデアーを想起させ、数学のこのような秩序は、「美」であり、そして、「普遍真理」と考えざるを得ない、そう感じてしまうという処に、神秘性があるのでしょうし、数学が、もっとも完全なるイデアーに近い、永遠的な何かの影またはエコーだということが神秘であり、人智を超えた不思議とも思えるのでしょう。
　　（何か、質問からはかなり離れた話ですし、何を言っているのか、いい加減なことを言っているような気もしますので、この長文は、これで終わりにします）。

お礼

詳しい解説をありがとうございました。

回答No.5

starflora

＞ yokoyari さん

　　確かにというか、どうも間違っていたようです。
　　記憶では、e^(ix)=cosx－i*sinx だったのですが、何かおかしい感じがしたのと、siegmund さんの式と矛盾するので、テイラー展開というか、マクローリン展開の元の式を考えて、暗算で奇数項を計算してみると、i*iとなって、－が出てきて、sin の展開項全体にマイナスが付くように思えたのですが、いま一度、考えてみると（これも暗算ですが）、計算がおかしいことが分かりました。siegmund さんの e^x の展開式で、xをixと代入して考えたのではありません。そう考えると、e^(ix)=cosx＋i*sinx になるので、元々のマクローリン級数で考えたのですが、頭がぼけているようです。申し訳ありませんでした＞皆様

回答No.4

noname#3495

starfloraさんへ

sinπ=0なので、
e^(ix)=cosx+isinxでも、
e^(ix)=cosx-isinxでも、
e^(iπ)+1=0になりますね。

でも、それだと、テイラー展開が
おかしくなりませんか？

以上yokoyariでした。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

siegmund

オイラーは e^x，sin x，cos x のテーラー展開から e^(iπ) + 1 = 0
を導いたと聞いています．

e^x のテーラー展開は
(1)　　e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + x^5/5! + ・・・
　　　　　 = Σ{n=0～∞} (x^n/n!)
です．この x のところを形式的に ix とすると
(2)　　e^(ix) = 1 + ix - x^2/2! - ix^3/3! + x^4/4! + ix^5/5! + ・・・
で，実数部と虚数部をそれぞれまとめると
(3)　　[(2)の実数部] = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ・・・= cos x
(4)　　[(2)の虚数部] = x - x^3/3! + x^5/5! - ・・・= sin x
になります．
もちろん，(1)は無限級数ですから，
形式的に x を ix としてよいのか，
(2)で実数部と虚数部を分けると無限級数の和の順序を変更していることになるが
そこはいいのか，
など，の疑問はあります．
オイラーの頃は無限に関するきちんとした取り扱いが確立していませんでした．
幸い(？)，今の視点から見ても(2)(3)(4)は大丈夫です．

そもそも．べき乗 a^n は a が正数，n が自然数，について定義されたものです．
で，n が自然数でないものに拡張するときには，
指数法則を手がかりとして拡張しました．
a^m÷a^n = a^(m-n) ですから(本来 m>n です)，
これが m<n でもなりたつとして a^(-n) とは 1/(a^n) のことである，
などと拡張していったのです．
a^(1/2)×a^(1/2) = a^1 から a^(1/2) とは√a のことである，
なども同じような発想です．

n が実数でないものに指数関数を拡張するときに手がかりとしたものが
テーラー展開なのです．

オイラーの公式というのは，数学で最も重要な５つの数を結びつけているところに
重要性(神秘性？)があります．
算術の 0 と 1，代数学の i，幾何学おなじみのπ，解析学で重要な e．
しかも，最も基本的な３つの演算すなわち，加算，掛算，べき乗で
結びついていますね．

お礼

専門的な回答をありがとうございました。

回答No.1

nanjamonja

1715年テイラーによってテイラー展開が発表され（テイラー展開と名前を付けたのはオイラー）
sinｘ＝ｘ-ｘ^3／３！+ｘ^5／５！-ｘ^7／７！+・・・
cosｘ＝１-ｘ^2／２！+ｘ^4／４！-ｘ^6／６！+・・・
　e^x＝１+ｘ＋ｘ^2／２！+ｘ^3／３！+ｘ^4／４！+ｘ^5/５！+ｘ^6／６！+ｘ^7／７！+・・・
オイラーが1748年複素変数を形式的に用いて第３式のｘの代わりにｉｘを代入することでe^ix=cosx＋isinxが成り立つことを示した。
・・・と持っている本には書いてありました。

お礼

ありがとうございました。
テイラー展開については、自分で少し勉強してみようと思います。