ジュールの定義 次元の接点

質問

ジュールの定義につい，wikipediaによると3つの定義があります。
J = N・m = C・V = W・s
この次元の全く違う３つが同じということになっています。これはなぜなのでしょう。
C・Vで得られたJは，物体にN・mの力を与えるのに等しいのでしょうか。

教えてgooの過去の回答で，
歴史的に違う成り立ちだったが，やがて上記がたまたま一緒であることが判明した…
とあるのですが，こんなことはあるのでしょうか。
一緒なら，一緒である数学的証明はある…？

当方大学生なのですが，中学生にも分かる程度に教えて頂けると助かります。ありがちで稚拙な質問かと思いますがよろしくお願いします。

回答No.7

rnakamra · ベストアンサー

#2のものです。

>>基本単位とそれを組み合わせた単位で作られていますが、その組み合わせの際にかけられる係数を全て"1"にしてあるため
>とあるのですが，具体的にどこで１となるのでしょうか。
たとえば、力の単位Nの定義について考えて見ます。
ニュートンの運動方程式から、質量mの物体にFの力を加えたときの物体の加速度aには次のような関係があります。
F=kma
間違ってはいけないのは、この式は常にk=1と勘違いしている人もいますが、これはk=1とする単位を使っているのでそうなるのであり、実際は単位の選び方でkの値はいくらでも変わります。
物理屋さんはわざわざkを記述するのが面倒なのでk=1となるように単位を作ってしまいます。
つまり、1kgの物体に1m/s^2の加速度を生じる力が1?となるような単位?を作ってしまい、それにN(ニュートン)と名づけたのです。
同様に、仕事はFの力でその方向にxだけ動かした時の仕事の量をWとすると
W=kFx
となりますが(このkは先ほどのkとは全く関係ありません)、ここでもk=1とするように単位を作ります。1Nの力で1m動かした仕事を1Jと名づけたのです。
仕事率Pも仕事を時間で割ったものに比例しますので
P=kW/t
k=1となるように、1s当たり1Jの仕事を行う仕事率を1Wと単位を作りました。
全て説明するとかなり長くなりますのでここで省略しますが、要するに基本となる単位以外の物理量について、それを定義する関係式(普通は比例もしくは反比例の関係式)をつくり、その比例定数k=1となるように単位を作っていることが多いのです。

>それぞれの定義を調べてみましたが，なぜ一緒になるか未だに分りません。
>例えば J = EIt (E電圧(V)I電流(A)時間(t))を基本単位に落としたり式変形すると，kgm/s^2になるのですか？

電流の単位Aは基本単位ですので他の単位から導くことはできません。
電圧の単位Vは組み合わせ単位であり、他の物理量から定義されています。
電荷Qを電界Eの中におくとF=k1*E*Qの力が加わる。
Eと同じ方向にxだけ移動すると電位はφ=k2*E*x下がる。(移動した点と元の点との電圧はk2*E*x)
電流Iで時間tの間に移動する電荷量QはQ=k3*I*t
と決められています。
この三つの式からQ,Eを消去すると
F=(k1*k3/k2)*(φ/x)*(I*t)
となります。
当然、k1,k2,k3が1になるように単位を決めてしまうのです。
するとφの単位としてV(ボルト)が得られます。
k1,k2,k3を全て1とすると。
φ=F*x/I/t
つまり、1V=N*m/A/sになります。
1V*1A*1s=1N*m/A/s*A*s=1N*m
となります。

V(ボルト)の単位の定義は純粋に電気的な要請からされているわけではなく、電荷にかかる力の大きさから定義されているため、他の単位と何らかの関係性があるのです。その関係性に出てくる比例定数を1にしているので、基本的に次元があるように掛け算をすると同じように別の単位から計算したものと等しくなるのです。

回答No.6

Tacosan

SI で以下のように定義されています.
1 J = 1 m^2 kg s^-2
1 N = 1 m kg s^2
1 C = 1 A s
1 V = 1 m^2 kg s^-3 A^-1
1 W = 1 m^2 kg s^-3
いずれにしても, 「エネルギー」の次元は L^2 M T^-2 で, この次元を持つ組立単位が J,

回答No.5

yokkun831

電気力[N]＝電気量[C]×電場[V/m]

仕事（エネルギー）[J]＝力[N]×距離[m]＝電気量[C]×電場[V/m]×距離[m]＝[C・V]

ということになります。

回答No.4

yokkun831

定義や歴史上の順序はともかく，脈絡をつけてみますね。

１J＝１Nの力で１ｍ動かす仕事（エネルギー）＝１N・ｍ

１C・V＝１Cの電気量を１Vだけ電位を上げるのに必要なエネルギー
　１V＝その場におかれた１Cの電気量あたり１Jのエネルギーをもつような電場による電位

これだと話は終わってしまうので，さらに別の方向に行けば
　１V＝１ｍあたり１Vの電位差があれば１Cの電気が１Nの力を受ける電場１V/ｍがある
　１C・V＝１Cの電気に対して１V/ｍの電場に逆らって１Nの力で１ｍ動かすのに必要な仕事
　　　　＝１N・ｍ

というわけで，まったく何の矛盾もなくつながるのです。ちょっとわかりにくいかな？
要点は，電位と電場，そして電気力の関係ですね。そこがよく見えないと不思議に思ってしまうのですが，理解できれば全く当たり前の関係なのです。

一方，
１W＝１J/sが定義ですから，これは定義にすなおに従いましょう。

補足

御回答ありがとうございます。
ボルトの定義について，１つ目の定義じゃ話しが進まないので，２つ目の定義を用いたということでしょうか。
一つ目も理解できないのですが，それは置いておいて
>>１ｍあたり１Vの電位差があれば１Cの電気が１Nの力を受ける電場１V/ｍがある
これをもう少し詳しく聞いてもいいですか。1V・mにならない？
あとちょっとで理解できそうなのですが…まだ納得いきません。

回答No.3

rnakamra

#1の内容について
>違うよ、１Ｎの力を１ｍ動かす力積。
"力積"という用語は物理において別に定義された概念を表しています。
力積は"力×時間"を表し、運動量と同じ次元を持つ物理量です。
力と距離を掛け合わせた物理量は"仕事"でエネルギーと同じ次元を持ちます。

回答No.2

rnakamra

まず、
>この次元の全く違う３つが同じということになっています。これはなぜなのでしょう。
"次元"は全く違いません。同じ、仕事やエネルギーと同じ次元を持ち記号で表すと[(L^2)(M)(T^(-2))]の次元を持ちます。
CやV(場合によってはWも)電気関係の単位であり、一見純粋に力学的な単位であるNと結びつかない気がしますが、Vの定義に"1クローン当たり"という概念が入っているため掛け算すると相殺されてしまいます。

>C・Vで得られたJは，物体にN・mの力を与えるのに等しいのでしょうか。
"力"では無く"仕事"もしくは"エネルギー"です。1C・Vのエネルギーは1N・mの仕事を行うことができます。

これらが等しいのはそうなるように単位を作ってあるからです。
これらは基本単位とそれを組み合わせた単位で作られていますが、その組み合わせの際にかけられる係数を全て"1"にしてあるため、必然的に同じ大きさになるようになっています。

>歴史的に違う成り立ちだったが，やがて上記がたまたま一緒であることが判明した…

そんな偶然、あるわけがない。オーダーも同じであれば係数部分まで同じなどそんなこと奇跡でもない限り絶対にない。
元とも、力学的な仕事の単位と電気的な仕事の単位は別だとは思うが、利便性や複数の分野にまたがる理論構築の際の整合性を考えると単位を統一したほうがよいため、可能な限り同じ単位を使用しているのです。
そこで、それまで使われていた単位の中からより基本的な単位を抽出し、他の単位はその基本単位を組み合わせて定義することにしました。
電気の世界ではそれがA(アンペア)であり、CやVはA他の単位を組み合わせて作ってあります。

>一緒なら，一緒である数学的証明はある…？
それぞれの単位がどのように定義されているかを調べてみるとよいでしょう。定義もなしに証明などできるわけがありません。
J,N,C,V,Wが基本単位であるm,kg,s,Aからどのように定義されているかを調べてみてください。

補足

>>基本単位とそれを組み合わせた単位で作られていますが、その組み合わせの際にかけられる係数を全て"1"にしてあるため
とあるのですが，具体的にどこで１となるのでしょうか。

それぞれの定義を調べてみましたが，なぜ一緒になるか未だに分りません。
例えば J = EIt (E電圧(V)I電流(A)時間(t))を基本単位に落としたり式変形すると，kgm/s^2になるのですか？

回答No.1

noname#160321

>N・mの力を与える
違うよ、１Ｎの力を１ｍ動かす力積。
ｍ、k、s、Ａ単位系を取ると同じになるだけ。
別の単位系では見た目は違うが中身は同じ。
そもそもＣ(電荷量、クーロン)もＥ(Ｖ、電位差)も合うように取っているだけだから合うのは当然。