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線形代数の線形写像に関する質問
- 線形代数の線形写像について質問があります。
- f(x)=2x+1が線形写像でないことを示す方法について教えてください。
- f(x)=2(x+1)が線形写像でないことを示す方法についても教えてください。
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>線形写像の定義から、 f(ax1)+f(bx2)=af(x1)+b(x2)は成り立ちますよね？ >ここは、問題ないと考えているのですが、どうなのでしょうか？ ↓ この (※) の前半のこと？ >f(ax1)+f(bx2)=af(x1)+b(x2)=a（x1^2）+b（x2^2）・・・(※) ↓ (※) の前半は、f( ) にて変数の係数倍での線形性をチェックする等式です。 f(x)=x^2 についていえば、 左辺： f(ax1)+f(bx2) = (ax1)^2 + (bx2)^2 右辺： af(x1)+bf(x2) = a(x1)^2 + b(x2)^2 と不成立。よって、f(x)=x^2 は線形じゃないというのが結論。 >f(ax1)+f(bx2)==（ax1）^2+（bx2^）2 は明らかに間違いという認識で良いでしょうか？ ↓ f(x)=x^2 の勘定としては「間違い」ない。 f( ) が線形なら右辺は af(x1)+b(x2) でなければならない。 (ax1)^2 + (bx2)^2 はそれと異なるから、f(x)=x^2 は線形じゃないという結論。
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- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
「線形写像の定義から、f(ax1)+f(bx2)=af(x1)+b(x2)は成り立ちますよね？」 ってのは, 何を確認してるの? f が線形写像なら f(ax1+bx2) = af(x1)+bf(x2) は成り立つけど, f が線形写像でないなら一般には成り立たない.
お礼
ご回答ありがとうございます。 理解できました。
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
>同様に、f(x)=x^2について示す場合について、 >f(ax1+bx2)=（ax1+bx2）^2 >f(ax1)+f(bx2)=af(x1)+b(x2)=a（x1^2）+b（x2^2）・・・(※) >(※)の部分ですが、 >f(ax1)+f(bx2)==（ax1）^2+（bx2^）2 として間違いなのでしょうか？ 原題のチェック式の右辺を使う、 af(x1)+b(x2)=a(x1^2) + b(x2^2) なので、(※) の後半 2 項が正しい。 f(ax1)+f(bx2) の勘定そのものに「間違い」は無いけれど、原題は f(ax1)+f(bx2) なる検証式を含んでおらず、題意に沿った結論には直結しないのでは？
補足
ご回答ありがとうございます。 線形写像の定義から、 f(ax1)+f(bx2)=af(x1)+b(x2)は成り立ちますよね？ ここは、問題ないと考えているのですが、どうなのでしょうか？ f(ax1)+f(bx2)==（ax1）^2+（bx2^）2 は明らかに間違いという認識で良いでしょうか？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
蛇足。 >f(ax1+bx2)=af(x1)+bf(x2)を満たす 二つに分けて、 f(ax) = af(x) f(x1+x2) = f(x1) + f(x2) をそれぞれチェックしても良いわけですけど、テストだと点数を割り引く性悪なお方もいらっしゃる？
お礼
すいません。追加質問で申し訳ないのですが、 同様に、f(x)=x^2について示す場合について、 f(ax1+bx2)=（ax1+bx2）^2 f(ax1)+f(bx2)=af(x1)+b(x2)=a（x1^2）+b（x2^2）・・・(※) (※)の部分ですが、 f(ax1)+f(bx2)==（ax1）^2+（bx2^）2 として間違いなのでしょうか？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。
補足
ご回答ありがとうございます。 テストで原点されるかどうかはわかりませんが、 f(ax1+bx2) では、写像 f(x) = 2x+1 の x に ax1+bx2 を代入するのに、 af(x1)+bf(x2) では、af(x1) = a(2x1+1), bf(x2) = b(2x2+1) と個別に 代入する。 結局、xは（x1+x2）でもあって、x1,x2でもあることに違和感を感じて しまいます。 ご回答よろしくお願い致します。
- misumiss
- ベストアンサー率43% (24/55)
f が線型写像なら, f(0) = 0 のはずです。
お礼
ご回答ありがとうございました。
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
>af(x1)+bf(x2)=a(2x1+1)+b(2x2+1)では、それぞれx1は2x1+1，x2は2x2+1となるのに、f(ax1+bx2)における、x1とx2は、（x1+x2）で、2x+1と表しています。 >x1とx2の表現の仕方が、f(x1+x2)とf(x1)+f(x2)で異なる事に違和感を 感じます。これは、なぜでしょうか？ 要するに定義式の両辺を別々に、かつ「忠実に」勘定するだけ、なのです…。 左辺 f(ax1+bx2) では、写像 f(x) = 2x+1 の x に ax1+bx2 を代入、だから 2(ax1+bx2) + 1 …(*1) とするしかない。 右辺 af(x1)+bf(x2) では、af(x1) = a(2x1+1), bf(x2) = b(2x2+1) と個別に勘定するしかない。 a*(2x1+1)+b*(2x2+1) = 2(ax1+bx2) + a+b …(*2) 「違和感を感じ」るのはナゼ？ >また、f(x)=2(x+1)は、 >f(ax1+bx2)=2（（ax1+bx2）+1） >af(x1)+bf(x2)=a(2(x1+1))+b(2(x2+1)) >として解けば良いでしょうか？ その通り！
お礼
ご回答ありがとうございます。 理解できました。
- 中村 拓男（@tknakamuri）
- ベストアンサー率35% (674/1896)
反例を挙げればよいのでは？ (1) は 2x+1 は x=1 の時 3 なので 定義から f(1) = 3 なら f(3)=9 のはず。 でも、x = 3 の時 2x+1 = 7 なので線形写像ではない。 (2)も同様。
お礼
ご回答ありがとうございます。 そのようにして考えると、線形写像かどうかはすぐわかりますね。 ありがとうございました。
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
>線形写像の定義は、f(ax1+bx2)=af(x1)+bf(x2)を満たすです。 >（1）f(x)=2x+1が線形写像でないことを示せ。 >f(ax1+bx2)=af(x1)+bf(x2)より、 >f(ax1+bx2)=2(x1+x2)+1=2（x1）+2（x2）+1 >af(x1)+bf(x2)=（2(x1）+1）+（2（x2）+1） >よって、f(ax1+bx2)≠af(x1)+bf(x2) とありました。 正しいでしょうか？ 論証手続きを再考してみて。 f(x)=2x+1 の右辺の x へ ax1+bx2 を代入。 2(ax1+bx2) + 1 …(*1) また、定義式右辺 af(x1)+bf(x2) を勘定してみると？ a*(2x1+1)+b*(2x2+1) = 2(ax1+bx2) + a+b …(*2) >よって、f(ax1+bx2)≠af(x1)+bf(x2) …みたいだけど？ >f(x)=2x+1における、2がaやbを表しているのでしょうか？ 写像 の 2 と a, b は別物。 定義式は、「任意の」a, b について成立たねばならんのです。 >（2）f(x)=2(x+1)が線形写像でないことを示せ。 についてですが、f(x)=2x+2とすれば、示せるのですが、f(x)=2(x+1)でも(1)の手順で示せるのでしょうか？ YES !
補足
ご回答ありがとうございます。 f(ax1+bx2)=2(ax1+bx2)+1 af(x1)+bf(x2)=a(2x1+1)+b(2x2+1)=2(ax1+bx2)+a+b よって、 f(ax1+bx2)≠af(x1)+bf(x2) ということですね。 af(x1)+bf(x2)=a(2x1+1)+b(2x2+1)では、 それぞれx1は2x1+1，x2は2x2+1となるのに、 f(ax1+bx2)における、x1とx2は、 （x1+x2）で、2x+1と表しています。 x1とx2の表現の仕方が、f(x1+x2)とf(x1)+f(x2)で異なる事に違和感を 感じます。これは、なぜでしょうか？ また、f(x)=2(x+1)は、 f(ax1+bx2)=2（（ax1+bx2）+1） af(x1)+bf(x2)=a(2(x1+1))+b(2(x2+1)) として解けば良いでしょうか？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
そんな文章, どこで見つけたんでしょうか? 「正しい」かどうかを判断する以前の問題. 書いた人間の頭がおかしいと思われてもしょうがないレベル.
お礼
ご回答ありがとうございます。 理解できました。 何度もありがとうございました。