ラプラス変換を使う連立微分方程式

質問

y''-z=e^x
z''-y=e^-x
[y(0)=z(0)=0,y'(0)=-1,z'(0)=1]

Y(s),Z(s)を出すときの処理がうまくできません。
途中計算をお願いします
解答は
y(x)=(1/4)(e^x-e^1x-4sinx-2xcosx)
z(x)=(1/4)(e^-x-e^x+6sinx)
です。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

>Y(s),Z(s)を出すときの処理がうまくできません。
自力解答の途中計算の詳細を補足に書いた上で、分からない箇所の質問やチェック依頼をして下さい。

途中計算が無いとチェックしようがありません。
何も書かない丸投げ解答依頼はマナー違反になります。

ヒントだけ）
Y(s),Z(s)を求めると
Y(s)-(s^4-s^3-3s^2-s+2)/((s-1)^2*(s+1)^2*(s^2+1))
Z(s)=(s^4+s^3-3s^2+s+2)/((s-1)^2*(s+1)^2*(s^2+1))

これらを部分分数展開してから、逆Laplace変換すると良い。

>解答は
>y(x)=(1/4)(e^x-e^1x-4sinx-2xcosx)
>z(x)=(1/4)(e^-x-e^x+6sinx)

この解答とは異なる解答が出てきました。
こちらで解いた結果では
y(t)=-(6sin(t)-(t+1)e^(t)+(t+1)e^(-t))/4
z(t)=(6sin(t)+(t-1)e^(t)+(1-t)e^(-t))/4
となりました。

どちらの解答が正しいかは
解答を元の連立微分方程式に代入してチェックして見て下さい。
方程式を満たさなければ解が正しくないということです。

回答No.5

info22

#1,#2,#4です。
A#4でのsinh(x)の定義式の「+」は「-」ですので訂正しておきます。
誤り：sinh(x)=(1/2){e^x+e^(-x)}　←右辺ば cosh(x)ですね。
正：sinh(x)=(1/2){e^x-e^(-x)}

失礼しました。

回答No.4

info22

#3さんのy(x),z(x)の式は、
sinh(x)=(1/2){e^x+e^(-x)}
の関係を使えばA#2と同じ式になります。
したがってA#2とA#3の解は同一と見做していいでしょう。

もちろん、元の連立微分方程式を満たしています。
質問者の書かれている解答は、連立微分方程式を満たしませんので誤りでしょう。

回答No.3

Ae610

当方で計算した限りにおいては、
y(x)＝1/2・sinh(x)－3/2・sinx+1/2・xsinh(x)
z(x)＝－1/2・sinh(x)+3/2・sinx+1/2・xsinh(x)
となりましたが・・・？。

回答No.2

info22

#1です。
A#1で当方で導出の解 y(t),z(t)の変数　t　は　x　の間違いですので
t→ x　で置き換えて下さい。
こちらで解いた結果では
y(x)=-(6sin(x)-(x+1)e^(x)+(x+1)e^(-x))/4
z(x)=(6sin(x)+(x-1)e^(x)+(1-x)e^(-x))/4
です。