積分法

質問

次の積分が分かりません。部分積分を使って解いていくのは分かるのですが…。

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回答No.2

info22 · ベストアンサー

I=∫[0,∞]xe^(-x-y)dx
={e^(-y)}∫[0,∞]xe^(-x)dx
={e^(-y)}*I1 …(●)
I1=∫[0,∞]xe^(-x)dx
=[-xe^(-x)][0,∞]+∫[0,∞] e^(-x)dx 　←部分積分する
=-lim[x→∞]{x/e^(x)}+[-e^(-x)][0,∞]　←ロピタルの定理適用
=-lim[x→∞]{1/e^(x)}+1
=1
このI1の結果を(●)に代入すれば 質問の
積分Iが出ますね。

お礼

分かりやすい回答を有難う御座います。理解できました。

回答No.1

noname#101087

部分積分の可能性を。

　∫xe^<-(x+y)>dx = e^<-y>∫xe^<-x>dx　　　…(1)
としておく。

xe^<-x> の微分を考える。
　[xe^<-x>]' = e^<-x> - xe^<-x>
つまり、
　xe^<-x> = e^<-x> - [xe^<-x>]'　　　…(2)

あとは、(2) を (1) へ。

お礼

有難う御座います。