積分判定法

質問

画像の式に積分判定法が使用できる事を証明し、収束または発散するのかを求めるのですがどのようにやるのでしょうか。どなたかご教授お願いします。

回答No.1

sunflower-san · ベストアンサー

まず、f(x)=1/(x(log(x)-1))とおきます。

x>eのとき、f(x)は滑らかで単調減少なので、
f(n)>ʃ[x=n..n+1] f(x)dx
(ここで右辺の積分はnからn+1までの定積分を表すものとします)

よってN≧4のとき、
Σ[n=3..N-1] f(n) >ʃ[x=3..N] f(x)dx
となります。(※)

右辺の積分を評価するために、x=e^tと置き換えると、

ʃ[x=3..N] f(x)dx
=ʃ[x=log3..logN] 1/(t-1)dt
=log(log(N)-1)-log(log(3)-1)

と計算出来ます。

さて、Nを十分大きくとるとこの積分値は幾らでも大きくなる(例えば、N=2^(1+2^m)ととるとlog(log(N)-1)=mになります)ので、(※)の不等式より、Nを十分大きくとればΣ[n=3..N-1] f(n)は幾らでも大きくできることになります。

よって、lim[n→∞](Σ[n=3..N-1] f(n)) は発散することが分かります。

お礼

x>eで値をとるのですね、詳しい説明ありがとうございます。