1個のベクトルaが線形従属であることと、a=0は同値ですか？

質問

1個のベクトルaが線形従属であることと、a=0は同値ですか？

回答No.7

OurSQL · ベストアンサー

体 K 上のベクトル空間 V のベクトル a に関して、
a が線形従属 <----> a = 0
つまり、同値です。

-->　の証明
a が線形従属より、k a = 0 を満たす K の元 k ( k ≠ 0 ) が存在します。
k ≠ 0 より、k は逆元 k ^ (-1) をもつので、k ^ (-1) を左から両辺にかけると、
k ^ (-1) ( k a ) = k ^ (-1) 0
( k ^ (-1) k ) a = 0
1 a = 0
よって、a = 0

<--　の証明
a = 0 より、1 a = 0 が成り立つ。
また、K の元 0, 1 に関して、1 ≠ 0
よって、a は線形従属。

以上で同値であることが示されましたが、

k ^ (-1) 0 = 0

が成り立つことは、きちんと証明する必要があります。

回答No.6

koko_u_u

>λa+μb=0はb=-λ/μ*aと変形できるので、-λ/μ=pとでもおけば同じことだと思います。(μ≠0)

同じではありません。もっと注意深くなるべきです。

お礼

何回もご回答ありがとうございました。
今回は長引いてしまったため、ここで締め切ろうと思います。
また似たような質問を出すかもしれません。
そのときkoko_u_uさんがご覧になっていたら、また回答していただけるとうれしいです。

補足

考えてみたのですが、違いがよくわからないです＾＾；
すみません。

回答No.5

koko_u_u

手元に線形代数の参考書があるなら、それを見て、
今自分が書いた「定義」とどう違うのか考えて、それを補足にどうぞ。

補足

参考書には「λ=μ=0以外の時にもλa+μb=0が成り立つのであれば、aとbは線形従属である」というようなことが書いてありました。
ここに出てくるベクトルの数は2つで、λa+μb=0はb=-λ/μ*aと変形できるので、-λ/μ=pとでもおけば同じことだと思います。(μ≠0)

回答No.4

koko_u_u

>線形関係式λa+μb=0が成り立つのが、λ≠0またはμ≠0のときに限るとき、
>a,bを線形従属という、、、でしょうか？

話がまったく通じてなくて困る。

線形関係 λa+μb=0 は λ=μ=0のとき、「必ず成立します」
なので、「線形関係式λa+μb=0が成り立つのが、λ≠0またはμ≠0のときに限る」
ということは有り得ません。

補足

「0以外の特定の実数λ∈Rを使ってb=λaと表現できるとき、aとbは線形従属の関係にある」みたいな感じでしょうか？
なかなか質問が解決できなくてすみません。

回答No.3

koko_u_u

>λa+μb=0 (λ、μ∈R)としたとき、λかμの少なくともひとつが0でないこと

やはり違います。上の日本語を P ⇒ Q の形で書くと

λ、μ∈R ∧ λa + μb = 0 ⇒ λ≠0 ∨ μ≠0

です。

しかし λ=μ=0 とした場合、P は成立しますが、Q は成立しません。
すなわち、いかなる 2つのベクトルも線形従属ではなくなってしまいます。

補足

線形関係式λa+μb=0が成り立つのが、λ≠0またはμ≠0のときに限るとき、a,bを線形従属という、、、でしょうか？

回答No.2

koko_u_u

>λ∈Rとしたとき、λa=0を満たすλが0でないこと。

いいえ、違います。
試しに 2個のベクトル a, b が線形従属であることの定義も補足に。

補足

λa+μb=0 (λ、μ∈R)としたとき、λかμの少なくともひとつが0でないこと・・・・でしょうか？

回答No.1

koko_u_u

「1個のベクトルaが線形従属である」定義を補足にどうぞ。

補足

λ∈Rとしたとき、λa=0を満たすλが0でないこと。