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ぐにゃぐにゃしている面積の求め方
よろしくお願いします 地域の奉仕活動として、数学教室を開催予定ですが 困ったことがおきました。 紙に好きな図形を描いてもらい、それを切り取って周りをテープで囲います。 切り取った図形の面積を測定する方法でつまずきが発生いたしました。 自分で考えたのは、テープで囲った中に、小さいビーズを入れて そのビーズをメスシリンダーで測定する方法です。 この方法で上手くいくと思ったのですが・・・ ビーズとビーズの間の隙間ができてしまい、正確には測ることができませんでした どうしたらよいのでしょうか。 ちなみに、紙ですので水物を入れるのは厳禁なんです。 小中学生が納得する方法をご教授ください。 よろしくお願いいたします
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大学の授業で地図とかで面積を求めだすのに 細かい目の方眼紙を用いて出すやり方を教わった記憶があります。 一マスの面積ははっきりしているので後は、範囲内にあるますの数を 掛けてあげるだけです。 もちろん、マスには隙間のあるものもありますのでそれはそれで全部 数え上げて最終的に２で割ってあげるのです。 目の細かい方眼紙を使われるほど正確な面積に近い数字を求めだすこと ができますよ＾＾ 後、どうして面積計算なんかする必要性なんかも教えてやると子供心を 思い出してみると変にやる気がでたような気がします。 そうでなくても算数が嫌いな方って多いですからね＾＾；
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これをすると.狂気に近いのですが（とは言っても.流域面積の測定でやりましたけど）。 まず.方眼紙を1枚.OHPのコピー用シート（コピー機メーカーに連絡をとれば1箱50枚程度単位で入手可能）1枚.水性ペン1-2本を用意します。 ペンでマークをつけながら.四角いマスの数を数えます。OHPシートに方眼紙をコピーして使います。水性ペンは何回も使用するために水をつけたちり紙で文字を消すために使いました。１回しか使わないのであれば.油性ペンでも同じですが.間違えたときが面倒です。 マスの中に線がある場合には1/2の大きさで近似します。 これが.小学校で昔教えていた面積の数え方です。 タブレット（名称疑問）とか使えるのであれば.３点を適当にとってヘロンの公式から面積を測定する（測量やさんがよくやる方法）があります。が.ヘロンの公式は高等学校の範囲になってしまいます。 イメージスキャナーで読みとって.線内部のピクルスの数を数える方法もありますが.ソフトでは知りません（私は自作しました）。２色で読み取り.画面表示し.GET文でドットを数える方法です。 以前日本化学会のサイトでこの話がありましたので.聞いてみてください。 http://com.nifty.com/forum/FCHEM/top.go
お礼
ありがとうございます １つずつますめをつぶしていく・・ とても根気の要る作業ですねー 当日、自分、小学生相手に数えてそうです 現役先生のアドバイスありがとうございました！
- mmky
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参考程度に #1のkawakawaさんの方法について、 面積を重さで変換する方法ですね。よく使いますね。 もし化学天秤があれば正確に換算できますね。まず用紙を1cm角とか10cm角に正確に切ります。この重さを化学天秤で軽量するんですね。 例えば1ｃｍ角の用紙の重さが0.01g あったとしますね。これが基準の重さです。そこで自由に切断した用紙を化学天秤にのせて量ります。これが2.0gあったとしましょう。 そうすると、用紙の密度は一様と考えると、 自由用紙の面積Sxは、Ｓx=（2.0/0.01）*1cm＾2=200cm＾2 として計測できますね。これはかなり正確ですね。 それから、自由な用紙の重さの目安をとっておけば、基準の用紙のサイズを選んで、0.1ｇぐらいの精度のはかりでも使えますね。 参考程度に
お礼
ありがとうございました 頑張ります！
再度しゃしゃり出させていただきます。 面積の求めかたがいくら精度が高くても、そのプロセスがブラックボックス的であると、精度のよさに感嘆することはあっても、何故それが面積の数値になるのかを子供にわからせることは難しいと思います。 子供に面積の概念を教えるのであれば、むしろ単純なくらいに目に見える形で教えた方がいいのではないかと思います。 ビーズの代わりにもっと細かいものを使うという手もありますが、いずれにしても使う物体の形がどれも同じで均一あれば、その物体一個が占める面積とそれに対する隙間ひとつの面積の比率は大きさにかかわらずどこでも一定です。例外はその物体が入り込みにくい鋭角な部分だけです。 物体が小さいと物体一個に対する隙間によって生じる誤差がその分少ないというだけです。つまりビーズやそれに代わる物体の占有面積だけで測るのではなく、一個一個の隙間も面積を求める上での重要な要素であることも教えておく必要があります。 面積を測定する過程で、隙間の大きさや形が揃っているところでは正確に測定値に反映し、そうでないところ（形状が極端に鋭角にとんがっているところなど）では誤差が生じるのだということも説明してあげると、測定結果の不正確さにも納得できるのではないでしょうか。 物体が細かいと測定結果の精度はよくなりますが、一個一個が良く見えない分、それが何故そうなるのかとか、面積の概念そのものがわかりにくくなります。 それに同じ周囲長であっても、その形状によって面積はまちまちで、極端な話、囲んでいる線がお互いにくっついてしまうといくら周囲長が長くても面積はゼロになり、反対に真円の場合には最も短い周囲長で面積が最大になるという不思議も教えられれば、子供たちは新たな知識の発見に喜ぶのではないでしょうか。
- liar_adan
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すでに回答が出ていますが、いくつか付け加えさせて頂きます。 (丸い)ビーズを使う場合、隙間は必ずできます。 たとえば、平面上に10円玉を並べていくと、いくらきっちりさせても 隙間ができます。あれと同じです。 そして、隙間の割合は、ビーズが大きくても小さくても、(数学的には)変わりありません。 1円玉を敷き詰めた場合と、500円玉を敷き詰めた場合を想像してください。 1円玉の場合、隙間は小さいけれど数が多い。500円玉の場合、大きいけれど数が少ない。 割合としては同じになります。 もっとも実際には、ビーズが小さい方が図形の細かいところまでに入り込めるので、 精度が高くなるのはたしかです。 しかし、最良の場合でも、かならず隙間はできます。 隙間ができても、それを考慮に入れて面積を測ることは可能です。 たとえば＃5のYenTricks氏の方法。 また、砂糖や砂を使えば、隙間は同様にできるのですが、 それを意識せずに計測できる利点があるでしょう。 厚紙の重さで量るのは、原理的にはもっとも正確に出る方法です。 マス目の数で測るのは、kawakawa氏も仰っているように、 積分の基礎となる概念なので、いいと思います。 この際、 「みんなは、これじゃ正確に測れないと思っているかもしれないね。 だけど、もっとマス目を細かくしていったらどうだろう。 手間はかかるけれど、いくらでも正確な面積を出すことができるんだよ」 との説明が必要になるでしょう。 あと、失礼ですが＃4さんの方法では面積は出ません。 ジグソーパズルで、四方が凸のピースと、四方が凹のピースでは、 周囲の長さはほぼ同じですが、面積はかなり違います。 また、一辺10cmの四角形でも、正方形と、押しつぶした菱形では違います。
お礼
ご回答ありがとうございます！ いろいろな方からお応えいただき、感激してます！ 考えをまとめることができました。 もしよろしければ、 http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=504840 の方もよろしくお願いいたします 自分が数学に弱いことがバレバレですね (汗）
- kawakawa
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再登場です。 あまり薄い紙だと天秤の精度の問題がでてきますので，多少厚めで小学生がハサミで切る時に怪我をしない程度のものを用意します。 そうですネ，クラフト紙や画用紙なんかがよいでしょうネ。 そして，定規できちんと１ｃｍ角の正方形を作ります。 その重さを単位重量とします。 任意に作った形の紙の重さを量り，単位重量で割ってやれば面積を求めることができますネ。 また，ついでに１ｃｍ角の台形の重さを比べたり，或いは，底辺と高さが同じ三角形の色々なパターンのものを作っておいて，重さ比べをするのも，いいでしょうネ。 ＃６の方法は微積分の基礎となる方法なので良いものですネ。 低学年が多いのであれば，実際にマス目を数えるということではかるというのは良い方法だと思います。 昔々地図上の面積を求めるのに使った記憶があります。 算数好きの子を増やすように頑張ってくださいネ。 以上kawakawaでした
お礼
再登場ありがとうございました！ kawakawa様の方法で検討しています その他の皆さまのご回答も試してみたいと思います そろそろポイント発行させていただきます ありがとうございました！
ビーズを使う方法は面積というものの概念を理解する上で非常にいい方法だと思いますよ。 図形の周りをテープで囲った中にビーズを並べたのと同じ状態で計ればいいのだと思います。 このとき、ビーズを扱いやすくするためにむしろ大きめのビーズを使った方がいいと思います。 例えば底辺が10cmで高さが充分にある長方形を同じようにテープで囲って作ります。これをメスシリンダーの代わりに使います。その中に図形の中から取り出したビーズを並べて高さ方向の寸法が3cmになれば、面積は10cm×3cm＝30cm2になるはずです。 この方法ならビーズとビーズの間の隙間は同じ条件で出来るので、ビーズを入れたときの厚みが均一になるように注意すれば、若干の誤差は出るでしょうが近似的に面積を求めることはできるのではないでしょうか。
お礼
ご回答ありがとうございます！ 比較的大きいビーズ・・そうなんですよ ですけど、図形の指定は任意ですので、例えば角張った図形を 小学生が描いたときに角張った部分にビーズが入っていかない事態もあるかも と思ったんです 角張った所が多い図形とそうでない図形の誤差が生じてしまうのかなと・・ 近似的に求めるには良い方法ですよねー 扱う図形が微妙でして、正確に測ることが要求されています 開催まで残りわずかで胃が痛いです (笑） ありがとうございました
- jakyy
- ベストアンサー率50% (1998/3967)
切り取った図形と細い針金を用意します。 次に針金を図形に沿って、折り曲げていきます。 折り曲がった針金を、今度は四角形にします。 つまり曲線の物を直線に変え、四角形にするわけです。 四角形は面積がすぐに出ます。 折り曲げるのが正確であれば、あるほど正確な面積が計れます。 いかがでしょうか。 注：紙が薄くて、線に沿って折り曲げるのが困難ならば 紙を裏打ちして厚くすれば、可能かと思います。
お礼
ご回答ありがとうございます！ なるほど、確かにおっしゃるとおりと思います 針金が上手く曲がってくれるかがポイントですね！ 小中学生がイライラしないためにも、きちんと外形線に沿って 曲げるように指導する人も必要かもしれません
- hahaha_ha
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ビーズとビーズの間に隙間ができたために失敗したのですよね？ でしたら、隙間ができない粒子を使えばよいのではないでしょうか？ 例えば、小麦粉とか（無理なら、砂糖とか塩とか）の粉末を ビーズの代わりに使用してみてはいかがでしょう？
お礼
ご回答ありがとうございます！ 自分は小麦粉のように小さい粒子のごまを使ってみたのですが・・ ごまとごまが重なるんですよ！ 面積が測りたいのに、ごまのように小さいと、粒子が紙に１つだけくっついている 状態にすることができませんでした。 でも小麦粉はいいかもしれません 試してみます！
こんにちは。 ＞ビーズとビーズの間の隙間ができてしまい、正確には測る ことができませんでした より粒子が細かい砂を使用してみてはいかがでしょうか。 参考にならなければごめんなさい…。
お礼
ご回答ありがとうございます！ 自分は砂のように小さい粒子のごまを使ってみたのですが・・ ごまとごまが重なるんですよ！ 面積が測りたいのに、ごまのように小さいと、粒子が紙に１つだけくっついている 状態にすることができませんでした。 でも砂はいいかもしれません 試してみます！
- kawakawa
- ベストアンサー率41% (1452/3497)
均一な質の紙を使うという前提ならば； 切り取った紙の重さを量り，その重量と単位面積当たりの重量から面積を求めるというのは如何ですか？ ありきたりな方法かもしれませんが。 以上kawakawaでした
お礼
ご回答ありがとうございます！ その方法、聴いたことがあります 詳細を忘れてしまいました できましたらもう少し詳しく教えていただけると尚嬉しいです よろしくお願いします
お礼
ご回答ありがとうございます！ 小さいますめの数え上げですね！ なるほど、計算がたいへんになる図形を子どもが描かない恐れも・・ とうのは考えすぎかもしれません 曲線とか角張っている部分とか、ますめの小さい方眼紙がいいですね！ 算数や数学を勉強する必要性を教えるのは とても重要なことですよねー 次回開催の課題にします。ありがとうございました！