面積の求め方教えて下さい。。。

質問

一辺10の正方形ABCDに内接する円をαとする。
また、点Cを中心とする半径10の扇形の弧(?)をβとする。
このとき、αとβの交点をBに近い方を点n、点Dに近い方を点mとするとき、

αの弧nmとβの弧nmによってできる図形の面積を求めよ。

という問題で、有名な問題らしいですが、どうしても解けません。
ヒントor回答お願いします。

(問題が分かりにくかったら質問して下さい。。。分かりにくくてすいません…)

回答No.1

Chararara · ベストアンサー

誰もお答えしていないようなので挑戦してみました。

D→B方向にx軸(-→+)、C→A方向にy軸(-→+)を取ると、αとβはそれぞれ、
x^2+y^2=5^2 ...(1)
x^2+(y+5√2)^2=10^2 ...(2)
となる。

求める面積は、
(1)のyから(2)のyを引いたものを交点nからmまでxで積分したものである。

そこでまず交点n,mを求める。(1),(2)よりそれぞれ、
x=(5/2)(√(7/2)), y=5/(2√2) ...(3)
x=-(5/2)(√(7/2)), y=5/(2√2) ...(4)

そして
(1),(2)をyについて解くとそれぞれ、
y=√(5^2-x^2) ...(5)
y=(√(10^2-x^2))-5√2 ...(6)

それゆえ、求める面積は、
∫dx [ (√(5^2-x^2)) - ((√(10^2-x^2))-5√2) ] ...(7)
ここで積分範囲はX=-(5/2)(√(7/2)) から(5/2)(√(7/2))

y軸について対称なので、x=0から(5/2)(√(7/2))まで積分して2倍しても同じ。

積分で
∫dx [√(a^2-x^2)] (積分範囲はx=0からb)
= (1/2)( b√(a^2-b^2) + a^2 arcsin(b/a) )
であることを使う（b=aでちゃんとπ(a^2)/4になる）と、面積は、

(25/2) (√7) - 100arcsin((1/4)√(7/2)) + 25arcsin((1/2)√(7/2))

となる。

回答No.5

Chararara

まだ締め切られていないみたいなので返事をしてしまおう。

hyohyohyoさん、あら探しみたいなマネをしてしまってすみません。答えが一致して安心しました。

積分を使うよりもスマートな方法ですね。感心しました。

ではでは。

回答No.4

hyohyohyo

すみません。変なミスしてました(^^;)

4π→2πですね。

ふぅ。改めて(汗)です。

Charararaさん有り難うございます。

では

回答No.3

Chararara

#2の方と微妙に答えがずれてるのが気になって確かめてみました。

Xの面積はAPRではなくてnPRですね。

#2の方の答えで、
Y+Z=100π*M/(4π)は100π*M/(2π)なので、
Y+Z=50*arcsin(√7/4√2)

X+Y=25π*N/(4π)も25π*N/(2π)なので、
X+Y=(25/2)arcsin(√7/(2√2))

あとはこれらを
X=(X+Y)-(Y+Z)+Z
に代入すれば、僕の答えと一致します。良かった良かった。

回答No.2

hyohyohyo

こんにちは。図形の組み合わせを見つけることで解きます。

まず、新しく記号を設定します。
(1)円αの中心点をO
(2)円αと線ACとの交点をP
(3)弧βと線ACとの交点をR
(4)点nから線ACに垂直に線をおろしたときの交点をO'
(5)このとき線nO'の長さをx
(6)角度nCOをM
(7)角度nOAをN

とする。
また
(7)APRで囲まれた部分の面積をX(求める面積の半分)
(8)nROで囲まれた部分の面積をY
(9)nOCで囲まれた三角形の面積をZ

とする。

まず、余弦定理から
(nO)^2=(OC)^2+(nC)^2-2*(OC)*(nC)*cos(M)
(ここで(nO)は点nと点Oを結ぶ線の長さを示しており、他も同様である)

↓
5^2=(5√2)^2+10^2-2*(5√2)*10*cos(M)

よって　cos(M)=5/(4√2)
これよりsin(M)=√7/(4√2) .........(a)

従って(5)で定義したx=10*sin(M)=5√7/(2√2)
これを用いると(9)で定義した面積Z=OC*x/2=25√7/4

(a)式より扇CnRの面積Y+Z=100π*M/(4π)=25*arcsin(√7/4√2)

また、角度Nは、nO*sin(N)=x で求まるから
sin(N)=√7/(2√2) ...............(b)

(b)式より扇OnPの面積X+Y=25π*N/(4π)=(25/4)arcsin(√7/(2√2))

従って、X=(X+Y)-(Y+Z)+Z
=(25/4)arcsin(√7/(2√2))-25*arcsin(√7/4√2)+25√7/4

求める面積2*X=(25/2)arcsin(√7/(2√2))-50*arcsin(√7/4√2)+25√7/2

となります。
記号の設定が少し分かりづらいかもしれませんが・・・