ラプラスの方程式

質問

点電荷による電位Vがラプラスの方程式を満たすことを証明したいのですがどうすればいいでしょうか？　r＝√(ｘ^2+ｙ^2+ｚ^2)

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

単純にラプラス方程式に入れて成り立つことを示せばよいのです。
やり方としては二通り。
・∇^2をデカルト座標x,y,zで表す。点電荷による電位Vもx,y,zで表し代入する。

・∇^2を極座標r,θ,φで表す。点電荷による電位Vもr,θ,φで表し代入する。

2番目の式の方が簡単に計算できると思います。一度は1番目の方式でも計算しておくのもよい経験だとは思いますが。

補足

ありがとうございます。どちらとも解いて見ました。

回答No.2

sinisorsa

あなたは、静電場の基本方程式
　 rotE=0
divD=ρ
　 D=εE
からポワッソン方程式は導けますか。
これができるのならば、点電荷の場合、その点電荷が存在
しない場所の電荷密度ρ=0 ですから、
ポワッソン方程式はラプラスの方程式になります。
点電荷が複数ある場合にも通用する証明になります。
単一の点電荷なら、電位関数が分かっていますから、
当てはめればよいのですが、
元の問題は単一点電荷ですか、それとも複数の場合も
ありえますか。
私には、点電荷＝単一の点電荷とは読めないものですから。

補足

ありがとうございます。
問題にr＝√(ｘ^2+ｙ^2+ｚ^2)があるのですがいきなりそう解いてもいいのでしょうか？
いいのならとても楽なのですが。