ラプラス方程式について

質問

ラプラス方程式の問題なのですが、よくわかりません。

∇＾2φ＝1/r^2*d/dr(r^2*dφ/dr)を証明せよ

よろしくおねがいします。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

これは完全に球対称な場合に限られる式です。
球対称では無い場合、極座標系でのラプラス方程式はさらに複雑になります。

一度は自分で計算しておくほうが良いと思いますので導入部分のみ説明します。

r^2=x^2+y^2*z^2
上式の両辺をxで偏微分します。
2r*∂r/∂x=2x → ∂r/∂x=x/r (1)
(1)はy,zでも同様の式になります。

xでの偏微分をrでの常微分で表してみましょう。途中(1)の関係を用いると
∂φ/∂x=(∂r/∂x)*(dφ/dr)=(x/r)(dφ/dr) (2)
となります。(球対称で角度依存が無いためrについての常微分となります。)

(2)をさらにxで偏微分すると
∂^2φ/∂x^2=(∂/∂x){(x/r)(dφ/dr)}
=(1/r-x^2/r^3)(dφ/dr)+(x^2/r^2)(d^2φ/dr^2) (3)
となります。(途中の計算を省略してあります。自分で確認してください。)

(3)はy,zでも成り立ちます。それを全て足し合わせると(x^2+y^2+z^2=r^2の関係を使い,x,y,zが全て消えて)rでの常微分を用いた式になります。

お礼

参考になりました。ありがとうございます！