logの極限値

質問

lim[h→0](1+h)＾1/h=eを利用して次の極限値を求めよ
lim[h→0](1+h)＾x/h
lim[x→∞](1+(1/x))＾-x

これがテストに出るみたいですがこういうのってどうやればいいんですか？

回答No.2

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

１個目

（１＋ｈ）^(x/h)　＝　｛（１＋ｈ）^(1/h)　｝^x
よって、
lim[h→0](1+h)＾(x/h)　＝　lim[h→0]　｛（１＋ｈ）^(1/h)　｝^x
　＝　ｅ^x

２個目

ｘ　＝　１／ｈ　と置けば、
ｘ→∞　のとき　ｈ→０

（１＋（１／ｘ））^(-x)　＝　（１＋ｈ）^(-1/h)
　＝　｛（１＋ｈ）^(1/h)　｝^(-1)
よって、
lim[x→∞](1+(1/x))＾(-x)　＝　lim[h→0]｛（１＋ｈ）^(1/h)　｝^(-1)
　＝　ｅ^(-1)　＝　１／ｅ

答案に書く内容は、以上です。

ご参考に。

回答No.1

rnakamra

logじゃ無いだろう、という突っ込みはなしにして。

変数変換と指数法則を用いて変形します。

im[h→0](1+h)＾x/h
これは、x/h=(1/h)*xであり、指数法則x^(ab)=(x^a)^bを用いると
(1+h)＾x/h={(1+h)＾(1/h)}^x
となります。

lim[x→∞](1+(1/x))＾-x
lim[h→0](1+h)＾1/h=と比べると、hが1/xに置き換わったものに似ていることに気づくはずです。
1/x=hと置換すると、
(1+(1/x))＾(-x)=(1+h)^(-1/h)
となります。-1/h=(1/h)*(-1)ですから、上の問題と同じ解法になります。
気をつけておいてほしいのは
x→∞は1/x=hと置換するとh→+0(h→0ではない)に置き換わることでしょうか。

補足

テストで解き方書かないといけないんですが、それどうやって書いたらいいですかね。多少は論理だてて書かないといけないっぽいし。