logとeの極限値

質問

lim　　(1+3/x)^x
x→∞

lim (e^h-1)/h
h→0

lim {log(1-x)}/2x
x→0

という三つの極限値を求めたいのですが、どのように解いていくべきなのでしょうか？
sinを使ったものでもなく、代入などではとけなかったのです。よろしくお願いします。

回答No.2

arit · ベストアンサー

(1)
eの定義
lim　　(1+1/x)^x=e
x→∞
を使います。
よくやる手でx=3tとおいて
lim　　(1+3/x)^x= lim　(1+1/t)^3t
x→∞　　　　　　　t→∞
= lim{(1+1/t)^t}^3=e^3
t→∞
です。

(2)
lim (e^h-1)/h
h→0
は、f(x)=e^x に対しての f'(0)の定義式です。なので
lim (e^h-1)/h=f'(0)=e^0=1
h→0
です。

(3)
これも、f(x)=log(1-x)に対してf'(0)を考えます。

f'(0)=lim {log(1-h)-log1}/h
h→0
=lim {log(1-h)}/h
h→0
ところで f'(x)=1/x-1 から f'(0)=-1
つまり
lim {log(1-h)}/h=-1
h→0
この結果を使うと、問題の式は、

lim {log(1-x)}/2x
x→0
=lim {log(1-x)/x}×(1/2)=-1/2
x→0
です。

回答No.1

waseda2003

(1) lim_(x→∞) (1+3/x)^x
= lim_(x→∞) {(1+3/x)^(x/3)}^3 = e^3

(2) 公式 lim_(h→0) (e^h-1)/h = 1
からすぐに答が出てしまうのですが，
これは「公式を証明せよ」ということでしょうか。

(3) 公式 lim_(t→0) {log(1+t)}/t = 1 を用いて
lim_(x→0) {log(1-x)}/2x
= lim_(x→0) 〔{log(1-x)}/(-x)〕*(-1/2) = -1/2

本問を解くにあたっては，３つの公式
　　lim_(x→∞) (1+1/x)^x =e
　　lim_(h→0) (e^h-1)/h = 1
　　lim_(t→0) {log(1+t)}/t = 1
を用います。もし，公式を忘れているのであれば，教科書のほか，下のURLの基本解法演習「微分法」の３番などを参考にするとよいでしょう。公式の証明も載っています。

参考URL：

http://homepage2.nifty.com/wasmath/exercise.htm