ロピタルと微分で極限値を・・・。

質問

次の極限値を求めてみたいのですが・・。
lim
x→+0 (e^-1/x)/x

lim
x→∞　(tanx-x)/(x-sinx)

両方ともうまく∞/∞や0/0にすることが出来ずに悩んでいます。どう持ち込んでいけばいいのかお願いします。

回答No.3

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．

(1)
> lim
> x→+0 (e^-1/x)/x =log(e^-1/x)/logx
> としてしまっていいのでしょうか？

いや，そうじゃなくて
f(x) = e^(-1/x) / x として
lim{x→+0} f(x) の代わりに lim{x→+0} log[f(x)] を考えれば，
という意味です．

log[f(x)] = -(1/x) - log(x)
ですが，x→+0 のとき第１項の 1(1/x) は-∞に行き，
第２項の -log(x) は +∞ に行きますが， 1/x の方が強いので，
lim{x→+0} log[f(x)] = -∞　　　(つまり lim{x→+0} f(x) = 0)
です．
どちらが強いかは，lim{x→+0} [x/log(x)] を見ればよいわけで，
それこそロピタルの定理が使えます．

そんなことしなくても，0/0 の形ですから直接ロピタルの定理を使う手もありますね．
{e^(-1/x)}' = (1/x^2) e^(-1/x)
ですから．

ちょっと慣れていれば，ojamanbo さんのようにしても，一目で見えます．

(2) ほい，しまった，x→∞ でしたね．
なんだか x→+0 と思いこんでしまった．
で，ojamanbo さんの言われるように，x→∞ では振動してしまいます．
まず，分母分子を x で割ります．
g(x) = {[tan(x)/x]-1} / {1-[sin(x)/x]}
-1≦sin(x)≦1 ですから，明らかに分母は 1 に近づきます．
一方，tan(x) はπ周期で -∞ から 0 を経由して +∞まで変化しますから，
分子もこの間 -∞ から 0 を経由して +∞ まで変化します．
つまり，振動して極限値は定まりません．

> 解き方はないのでしょうか？
極限値なし(不定)というより仕方がありません．

> それとも問題のミス？
それは回答者には判定不能です．
極限値を求めよ，という問題には「不定」も当然含まれますから．

回答No.2

noname#24477

１問目は1/xをtと置くと
t/(e^t) ただし t→∞
の形になります。これだけで結果はほぼ明らかといえます。

２問目はx→∞だと振動してしまいますから
x→0でしょうね。このとき
tanx/x→1 や sinx/x→1 であることから0/0 の不定形で、問題として成立すると思います。

補足

いえ、２問目は∞なんです。なので困っています。
解き方はないのでしょうか？
それとも問題のミス？

回答No.1

siegmund

(1) log をとってみてはいかがでしょう．

(2) ロピタルの定理を２度使えば？
別の言い方をするなら，
tan(x)，sin(x) のマクローリン展開で x^3 まで取ればいいでしょう．

補足

（１）についてでlogは勝手にとってもいいのでしょうか？

lim
x→+0 (e^-1/x)/x =log(e^-1/x)/logx

としてしまっていいのでしょうか？