微積分の"図形への応用"について

質問

こんばんは!
いつもお世話になっております。

数学の宿題なんですが…。
「母線の長さが12である円錐の体積の最大値を求めよ。」
という問題がありました。

円錐の高さをxとおいて、体積をxの式で表すとのことなんですが、まったく歯が立ちません。。。
ちなみに、答えは128√3πです。

皆様のお力を貸して頂こうと思い、投稿致しました。
解答の流れを教えて下さい。
また、途中の計算式や、使った公式なども明記して頂けると助かります^^(数学本当に苦手なので…。)

よろしくお願い致します。

回答No.5

info22 · ベストアンサー

#4です。
A#4の補足について
私が書いた手順に従って
あなたのやっったことを式で書いてみると
底面の半径の二乗：a^2=r^2=144-r^2
円錐の底面積S=πr^2=πa^2
>円錐の底面積になる
ここまでは合っています。

>その後の体積計算がしっくりいきません。
なぜそう思うんですか。全然問題なく正しくできています。
円錐の体積の公式は小学校の高学年や中学校で習っているかと思います。
体積Vのを公式を使って円錐の体積を上のSと高さを使って表す所からの解答の続きをやって見てください。
つづきはA#4に書いた手順でやってみてやったことの詳細を補足に（できれば式を使って）書いてください。行き詰ったら分からない箇所の質問して下さい。

お礼

こんばんは!回答ありがとうございます♪
返信遅くなってしまい申し訳ありませんでした。

無事に体積計算することが出来、解答までたどり着くことが出来ました^^
何度も回答して頂き、ありがとうございました。

回答No.4

info22

宿題の丸投げはこのサイトではマナー違反ですね。
以下の手順で分かるところまでやって下さい。
質問があれば、そこまでの計算の詳細を補足に書いて、行き詰ってかからないところを質問して下さい。

以下の手順が解答の流れです。
円錐の底面の円の半径aをxを使って求める。
円錐の底面の面積Sを求める。
円錐の体積Vを求める。
体積Vをxで微分する。
微分がゼロとなるxの時のVを求める。
このVが最大であることを確認する。

補足

回答ありがとうございます。
マナー違反でしたか…不快な思いをさせてしまい、申し訳ありません。

早速質問ですが、よろしいでしょうか？
円錐の底面の半径を出す為に、斜辺12、高さx、半径rとおいて、三平方の定理を用いたところ、
x＾2+r＾2=144
r＾2=144-x＾2としました。

この時点でrが2乗になっているので、これにπをかければ円錐の底面積になる……と思ったのですが、そうすると、その後の体積計算がしっくりきません。

この時点で既に考え方が間違っているのでしょうか??

回答No.3

enma309

解答をすべて書くのはよくないと思うので、ヒントのみ書いておきます。
　円錐は直角三角形の回転体です。そのうち、母線の長さは、その直角三角形の斜辺に当たります。残りの2辺が底面の円の半径、そして円錐の高さになるわけですね。だから、母線の長さが１２、円錐の高さをｘと置いたら、三平方の定理で円の半径もｘで表せますね？
　あと、この値を使って円錐の体積をxで表します。そうしたら、あとは微分の最大最小の問題に帰着させて、おしまいです。

　なお、この解放では円錐の高さをｘと置くより、底面の半径をｘと置いたほうが若干計算が楽になるかと思いますよ。ちなみに、このときぼくが計算したところｘはすべてｘ＾2の形なったので、それをｘ＾2=ｔとかと置いて計算するともっと楽になりました。

お礼

回答ありがとうございます!

三平方の定理を使えば良かったんですね^^
解答までの流れがとても明快で助かりました。

ありがとうございました!!

回答No.2

debukuro

これって直角三角形の面積を極大にすればいいんじゃないですか
多分そうだと思います

お礼

回答ありがとうございます!

無事に解答までたどり着くことが出来ました^^
ありがとうございました。

回答No.1

rnakamra

過程全ては教えません。
それはあなたのためにならないからです。

ヒントとしては、
・母線の長さhと円錐の高さhから底面の半径rを求めることができます。
・円錐の体積は(底面積)×(高さ)/3
・求めた体積をxで表し、それをxで微分し増減表をかく。
以上でできます。

がんばってください。

お礼

回答ありがとうございます!

そうですね、やっぱりちゃんと、途中まででも自分で解くべきでした。。。
無事に最後の解答までたどり着くことが出来ました^^

ありがとうございました。