円錐の体積と表面積

質問

私は今、数学の相似比を使った問題で悩んでいます。

『ＯＨを高さとする円錐を、ＯＨの中点Ｍをとおり底面に平行な平面で切り、上部の小さい円錐を取り除いたものとする。
底面の半径が６ｃｍ、ＭＨの長さが４ｃｍのとき、この立体の体積を求めよ。また、この立体の表面積を求めよ。』

体積はこのやり方で求めました。
Ｖ＝（１/３）*π*６*６*８＝９６π
１：８＝Ｘ：９６でＸ＝１２π
９６π－１２π＝８４π　　８４πｃｍ3

表面積も同様に片方の面積を求め、もう片方を出し、その答えを引いて、丸の面積分足したところ、答えは８１πになりました。
しかし、解答シートを見ると、９０πになるのです。
どうやったらそうなるのか分かりません。
よければ求め方を教えてください。

回答No.1

noname#56760 · ベストアンサー

先ずは円錐の状態で表面積の計算
底面　36兀
扇形の半径は三平方の定理から10（中心角ｘとして）
2兀*6=2兀*10*x/360
x=(6/10)*360
これより

(兀*10^2*x/360)
従って
円錐の状態で表面積＝(兀*10^2*x/360)+36兀

ここから上半分を斬って、円錐台の表面積を出す。
(扇形の不要部分を引き、斬り口の円を足す)

(兀*10^2*x/360)+36兀-(兀*5^2*x/360)+3^2兀
=90兀

お礼

詳しいやり方を説明していただき、嬉しいです。
ありがとうございました。

回答No.3

shenyi401

三平方の定理より母線の長さは，10cmです。ここで，円すいの側面積を求めるには公式があります。

S=πlr　l；母線の長さ　r；底面の半径

公式の証明については省略しますが，覚えておくととても便利です。これを使い，相似比1：2より，面積比1：4を利用すると，

S=π×10×6×3/4=45π(円すい台の側面積)

あとは，底面の面積　36π　切り口となった円の面積　9π

この3つの合計です。

お礼

詳しい説明ありがとうございました。
公式も覚えておきます！

回答No.2

metis

非常に惜しいところまで行ってます。後一息です。

表面積から求める方法で考えますね。
>その答えを引いて、
具体的に言えば、この部分が問題となっています。
円錐の表面積は、側面積＋底面積ですね。
では、この小さい円錐の表面の内、もともとの大きい円錐の表面に含まれて居ない部分はあるでしょうか。
もし、含まれて居ない部分があるなら、その部分だけ余計に引いてしまっているわけですから、後でその部分を足す必要があります。

そこに更に、切断する事で、問題の円錐（切り取った後の下の部分）にあり、もともとの大きい円錐に無かった部分が出来ます。
この部分も足してやる必要がありますね。

結果を見るところ、上２つのうち、どちらか一つが抜けているのだと思います。
ポイントは、「片方には含まれているけど、もう片方には含まれて居ない部分」ですね。

さて。
相似比から円錐の表面積を出すときの計算を応用すれば、実は「側面積」の部分だけを出すことが出来ます。それも、簡単な計算で。
ですので、表面積全体を出す必要は無く、側面積だけで計算を進めて行けば、計算ミスも減りますし、時間の短縮になると思います。

お礼

詳しい説明をいただき、ありがとうございました。
ミスがなくなるよう、気をつけたいと思います。