電位分布の問題です

質問

無限に広がる平面に電荷が一様に分布している。この時の電位分布を求めよ（単位面積あたりの電荷はω）という問題です。
まずガウスの法則を利用して、電場E=ω/2ε0を求めました。
その後にV=∫Edrを使って、V=(ω/2ε0)rとなりました。

そこでy軸にV、x軸にrをとり電位分布のグラフを書くと比例にグラフになりました。
そうするとrが大きくなればなるほどVも増えていくのですが、これで合っているのでしょうか

平面から離れれば離れるほどVが大きくなるというところが納得できません
もしくは私の解答が間違っているのでしょうか

解説をお願いしたいです

回答No.3

noname#221368

#2さんの仰るように電位は、

　　V=－∫Edr　　(1)

で定義すべきですが、電位は、一様重力－mgの位置エネルギーmgrと同じ類のもので、ポテンシャル（静電ポテンシャル）と言われます。

　Ｖの傾きだけが物理量であり、少なくとも古典物理のポテンシャルは、数学的便利道具です（物理量ではない）ので、±∞が平気で出てくる場合もあります。

　数学的には、V=∫Edr　と定義しても、(1)と同等な性能を持つ数学的便利道具になりますが、

＞平面から離れれば離れるほどVが大きくなるというところが納得できません

という違和感が生じるので、(1)を採用します。数学的には(1)の符号は「決め」の問題ですが、エネルギー保存則まで考慮すると、「平面から離れれば離れるほどVが小さくなる」ように、(1)を採用するのが妥当だ、となって来ます。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

>平面から離れれば離れるほどVが大きくなるというところが納得できません

点電荷でも同じですよ。
電位に上限が無いのが問題なのでしょうか？
質問の状況では、電荷が無限にあるので、上限がないのは
妥当と思います。

回答No.1

siegmund

> V=∫Edrを使って、V=(ω/2ε0)rとなりました。

電位の定義は
(1)　　V=-∫Edr
です，基準点を r_0 とするなら
(2)　　V=-∫{r_0→r} Edr
です．
r_0 は原点 r=0 にとりましょう．
そうすると
(3) V=-(ω/2ε0)r
です．
簡単のため r>0，ω>0 としましょうか．
横軸 r，縦軸 V でグラフを描くと，
グラフは原点から出発する右下向きの直線になります．
電位は単位正電荷に対する位置エネルギー(ポテンシャルエネルギー)です．
位置エネルギーの低いところに物は行きたがりますから(そのように力が働く)
今の電場中に単位正電荷をおくと r→∞ に行こうとします．
平面と単位正電荷は同符号で反発しますから当然ですね．

> 平面から離れれば離れるほどVが大きくなるというところが納得できません

(a) ω>0 なら上で示したようにそうはなっていませんね．

(b) ω<0 なら平面から離れれば離れるほどVが大きくなります．
これは単位正電荷を置くと原点に近づこうとすることを意味します．
異符号電荷ですから引力で当然ですね．

(c) 電荷から離れれば離れるほど電場が大きくなるのは不自然ですが，
V は電場の積分なので，そうなっても不思議ではありません．
例えば点電荷 -q (q>0) を原点に置いたときの電位(無限遠を基準)は
V = - q/(4πε_0 r) ですが，これだと原点付近の大きな負の値から
無限遠点のゼロまで電位は r に従って増加します．

問題の物理的内容には直接関係ありませんが，ギリシャ文字は大丈夫でしょうか？
「単位面積あたりの電荷はω」と書かれていますが，
ω(オメガ)はσ(シグマ)の間違いでしょう．
慣用的な文字の使い方があり，単位面積あたりの電荷をωであらわすことはまず考えられません．
ほぼ確実に質問者さんの誤解(誤記)と思われます．