相加・相乗平均の関係の問題

質問

次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。
a、ｂ、ｃ、dが正の数のとき　（a/ｂ＋ｃ/d)(ｂ/a＋d/ｃ)≧4

(自分の解答)
a、ｂ、ｃ、dが正の数なのでa/ｂ＋ｃ/d＞0、ｂ/a＋d/ｃ＞0
相加、相乗平均の関係より
（a/ｂ＋ｃ/d)＋(ｂ/a＋d/ｃ)≧4√（a/ｂ＋ｃ/d)・(ｂ/a＋d/ｃ)＝４
が成り立つ。
等号が成り立つのはa/ｂ＋ｃ/d＝ｂ/a＋d/ｃすなわち……

自分なりに問いてみましたが、分からず詰まってしまいました。
お時間のある方、お手伝いよろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

a、ｂ、ｃ、dが正の数なのでa/ｂ>0,ｃ/d＞0,ｂ/a>0,d/ｃ＞0
相加、相乗平均の関係より
　(a/b)＋(c/d)≧2√{(a/b)(c/d)}=2√(ac/bd) (等号はa/b=c/d,即ちad=bcのとき成り立つ）
　(b/a)＋(d/c)≧2√{(b/a)(d/c)}=2√(bd/ac) (等号はb/a=d/c即ちad=bcのとき成り立つ）
が成り立つ。
2つの不等式の両辺は全て正、かつ不等式の等号成立条件が同じなので、辺辺掛けた
　(a/b＋c/d)(b/a＋d/c)≧4√(ac/bd)(bd/ac)=4(等号はad=bcのとき成り立つ）
が成り立つ。

回答No.3

mister_moonlight

先ず、問題に飛びつかないで、問題を良く見る事を習慣にしたら良い。
そうすれば、不等式は　ある綺麗な形になっている事に気がつく。
置き換えてやると、計算も簡単だし、なによりも先の見通しがよくなる。憶えておいたらよい。

a/ｂ＝α、ｃ/d＝βとすると、α＞0、β＞0
（a/ｂ＋ｃ/d)(ｂ/a＋d/ｃ)＝(α＋β)*(1/α＋1/β)≧4を示す事になる。そこから方法は２つある。

(解法-1)
(α＋β)*(1/α＋1/β)＝2＋(β/α＋α/β)≧2＋2＝4　　β/α＋α/β≧2だから。
等号は、α＝β　つまりad＝bcの時。

(解法-2)
(α＋β)≧2√(αβ)　等号は　α＝βの時。(1/α＋1/β)≧2√(αβ)　等号は　α＝βの時。
この2つの不等式を掛け合わせると
(α＋β)*(1/α＋1/β)≧4　等号は　α＝βの時。

(注)
解法-2は　最初の2つの不等式の等号成立条件が　α＝βで同じだから掛け合わせることができた。
従って、慣れないうちは　解法-1　の方が安全。

例えば、(α＋1/β)*(β＋4/α)≧9　を証明せよ、という問題なら　解法-2　は通用しない。
2つの不等式の等号成立条件が違うから。実際にやってみたら良い。

回答No.1

noname#261580

A+B≧Cの形ではないので、そのまま相加相乗平均の関係を使おうとしても難しいです。

【解】
a/b+c/dについて
a,b,c,dが正の数なので、a/b＞0,c/d＞0
相加相乗平均の関係より
a/b+c/d≧2√(a/b*c/d)－(1)

b/a+d/cについて同様に
b/a+d/c≧2√(b/a*d/c)－(2)

(1)、(2)の辺々を掛けて
(a/b+c/d)*(b/a+d/c)≧2*2√((a/b*c/d)*(b/a*d/c))
(a/b+c/d)(b/a+d/c)≧4－証明了

等号成立は(1)よりa/b=c/d、(2)よりb/a=d/cのとき
どちらもad=bc

等号成立の部分は少し自信無いですがこんな感じだと思います。
参考URLもご参照下さい。

参考URL：

http://www.din.or.jp/~saigou/math/sagi6.htm