高校数学です

質問

すべての正の実数x,yに対し
√x＋√y≦√２ｘ＋ｙ
が成り立つような実数kの最小値を求めなさい。
という問題なんですが、いくら考えてもわかりません。どのように解けばいいのでしょうか？

回答No.7

mirage70 · ベストアンサー

代数的に解くのであれば、
√x=X ,√y=Yとおいて、両辺を二乗すると、
X^2+2XY+Y^2<=k^2(2X^2+Y^2)
(2k^2-1)X^2-2XY+(k^2-1)Y^2>=0が全ての正の実数に対して成立するには、(2k^2-1)>0 ,判別式<=0を利用します。
D=Y^2-(2k^2-1)(k^2-1)Y^2=Y^2(1-(2k^2-1)(k^2-1))<=0
ここで、Y^2>0であり、k^2=Kとおくと、
K(2K-3)>=0ここで、K>0よりK>=3/2、そして元に戻すと
k^2>=3/2よって、k>=√(3/2)=(√6)/2

お礼

ありがとうございました

回答No.6

eatern27

以前にも同じ問題があったような気がしますが・・・
√x＋√y≦k√(２ｘ＋ｙ)ですね？
私が知っている解き方は2通りあります。

ひとつめ
x＝0の時、成り立つ条件はｋ≧1
x＞0のとき、√(2x+y)>0で両辺を割って
ｋ≧(√x+√y)/√(2x+y)＝(1+√(y/x))/√(2+(y/x))
＝(1+√t)/√(2+t)
t=y/xと置きました。すると、
f(t)＝(1+√t)/√(2+t)の最大値がｋの最小値となります。

ふたつめ
コーシーシュワルツの不等式から
(√2x*(1/√2)+√y*1)^2≦((√2x)^2+(√y)^2)((1/√2)^2＋1^2)・・・☆
よって、
(√x+√y)^2≦(3/2)(2x+y)
(等号成立はx:y=1:4)
両辺を1/2乗して√x+√y≦(√6/2)(√2x+y)

なお、☆は
p=(√2x,√y)、q=(1/√2,1)とすれば、
(p・q)^2≦|p|^2|q|^2
の形です。(ベクトルの矢印は省略)

ちなみに、この問題は1995年東京大学(理系)の1番の問題です。

お礼

ありがとうございました

回答No.5

baihu

＃２です。補足拝見。

√ｘ＋√ｙ≦ｋ√（２ｘ＋ｙ）

根号が入った不等式ということで、相加平均と相乗平均の関係を使わせたい問題なんじゃないでしょうか。

両辺が正であることを確認して二乗した後、√（ｘｙ）と（ｘ＋ｙ）の項が出てくるように括りなおして整理、ｋの入った係数を見て、「これは正数」「これは１以上の数」と導いてやる、と。

いかがでしょうか。

※高校生と思ってお答えしましたが、補足が必要ならお願いします。

お礼

ありがとうございました

回答No.4

wolv

√x＋√y≦k√２ｘ＋ｙ

k ≧ ｛xとyの式｝
の形に直すと、｛xとyの式｝の最小値を求める問題になりますね。

補足

式はできましたが、その後はどのように解けばよいのですか？

回答No.3

wolv

もひとつ。√２ｘは、
√(２ｘ)？、それとも、(√２)ｘ？

補足

2x＋ｙが√の中です。

回答No.2

baihu

ｋさんが式に登場しない人になっちゃってます～。(^^;

補足

ごめんなさい。
√x＋√y≦k√２ｘ＋ｙ
です。
よろしくお願いします

回答No.1

wolv

kはどこ？

補足

ごめんなさい。
√x＋√y≦k√２ｘ＋ｙ
です。
よろしくお願いします。