2階線形常微分方程式？

質問

よろしくお願いします。当方、大学時代に物理学科を卒業した者なのです。

先日、同僚からシリンダの動作について質問された際、
恐らく表記の問題であろう数式が思い浮かんだ(指数のグラフ？)のですが、
解法もですが、そもそも考え方自体正しいのかどうか分からず
手をこまねいております。

以下のような問題です。

単道のシリンダについて考える。
一方から空気が入り込みシリンダは進行を始めるが、それによって
反対側のばねも縮んでいく。

シリンダの質量をm、ばね定数をｋ、空圧による推力をF(一定)とし、
初速が0で、t=0でばねは自然長であるとしたとき、シリンダの速度は
どのようにあらわされるか。

ｍａ＝Ｆ－ｋｘ

という運動方程式より、2階線形微分方程式であると思ったのですが、
専門書を後輩に譲ってしまったため調べられず困っています。

以上です、よろしくお願いします。

回答No.4

my3027

既にアドバイスされている方が居ますが、粘性抵抗(ダンパー)を考える場合、

ma=F-kx-vn
n:粘性係数
v=dx/dt

m(d2x/dt2)=F-k:x-n*dx/dt
となります。参考までに。

回答No.3

noname#96417

もしその方程式が正しく、かつ F が一定であるのなら、
y = x - F / k
として、単振動の方程式になります。
釣り合いの位置（振動の中心）が
x = F / k
であるわけです。
一定の重力下に吊るされたバネの振動と同じです。

しかし、シリンダー内のピストンの運動であれば、摩擦力（たとえば速度に比例する - p v）が働くのではありませんか？
その場合には減衰振動になり、摩擦力の大きさによって場合分けが必要だったように記憶しています。
おそらく緩やかに減衰する解が適当なのでしょうが。
いずれにしても、その辺りは大学用の初歩的教科書に書いてあるはずです。
ネット上にも解説があるかもしれません。

お礼

ご回答ありがとうございます。

シリンダの摩擦力ですか！その成分を入れ忘れていました(汗)

y = x - F / k

2階線形常微分方程式の解放を書籍で見つけたのでやってみたところ、
おっしゃる通り単振動の答えが出ました。

しかし私が期待していたのは、q09さまも述べられているような、時間経過によって
速度が変動する運動(減衰振動)であり、違和感を感じてました。

運動方程式を立てる際、ピストンの運動に影響を与える成分を見直し、再度計算してみようと思います。

回答No.2

my3027

ｍａ＝Ｆ－ｋｘを書き直すと、
m(d2x/dt2)=F-kx
で2階線形常微分方程式になります。あとはx=e^(xλ)等と置いて一般解と特殊解を求めて重ね合わせの原理と、初期条件を使えば基本的には解けるかと。

お礼

ご回答ありがとうございます。

本日書店で調べてみたところ、解放を確認できました。
その方法で求めてみようかと思います。

回答No.1

spring135

ある時点でシリンダーの栓を抜いて（Ｆ＝0）ばねの伸び、縮みに伴うピストンの振動を論じたいのですか。シリンダというのは円筒のことでこれが動くなんてのは、変です。状況をもう一度整理してください。

補足

＞ある時点でシリンダーの栓を抜いて（Ｆ＝0）ばねの伸び、縮みに伴うピストンの振動を論じたいのですか。

その通りです。シリンダ自体が動作するわけではありません。
内容に誤りがあり、申し訳ありませんでした。