2階線形微分方程式の置き換えについて質問です

質問

先日、2階線形微分方程式(未知関数y(x))の解法として、
u(x) = xy(x) …(a)
としていた問題がありました。しかし、その問題集が現在見当たらず、どのような場合にこの置き換えが有効なのかがわかりません
手元にある常微分方程式に関する本を見ても載っていませんでした
(a)の置き換えがどのような形の微分方程式に有効か教えていただきたいです
また、(a)の置き換えが単なる私の思い違いの場合は、ご指摘をお願いします

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

ごめん。式を見過った。

u(x) = x y(x) が
(もとの未知関数) = (特解)・(新たな未知関数) となるのは、
y(x) = x じゃなく y(x) = 1/x が特解のときだ。

お礼

ありがとうございます
y(x)=（特殊解）×u(x)とする解法の一つだったのですね。用途が分かりすっきりしました
これからもよろしくお願いします

回答No.1

alice_44

それは、たぶん、
y(x) = x が特解であることが判った場合に
有効なんだろうと思う。
２階に限らず、線型微分方程式には、
(もとの未知関数) = (特殊解)(新たな未知関数)
という置換が有効。

お礼

ありがとうございます
(もとの未知関数) = (特殊解)(新たな未知関数)
という置き換えは、線形微分方程式に対して有効だということは知りませんでした。今まで2階に対してしか用いていませんでした。まだ、3階以上の微分方程式を扱う問題にはあまり遭遇したことがないのですが、使ってみようと思います