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微分方程式 線形 非線形 その4
与えられた問題の微分方程式が線形なのか非線形なのかは 理解できました。 ＞y についての微分方程式の次数は、 ＞y についての(代数的な)次数ではなく、 ＞｛y,y',y'',y''',…｝についての次数を見ます。 ＞それが 1 次式なら、線型微分方程式です。 と教えて頂き理解できました。 問題として当たったことはないのですが、 ・（y^2)’+xy=1は非線形微分方程式という認識で正しいでしょうか？ ・（logy）'や（siny）'などを含む微分方程式は非線形微分方程式と言う 認識も正しいでしょうか？ 以上、何度も申し訳ありませんがご回答よろしくお願い致します。
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何度も質問されているのは、きっと方程式 の見た目の”形”をパターン化して覚えよう としているからではないでしょうか。 与えられた微分方程式が線形かどうかとい の判断基準は、その解全体がAffine空間 をなすかどうかです。 それを理解していれば、特殊解と、対応す る斉次方程式の一般解との和が一般解に なることも当たり前に思えるでしょう。 線形空間でなくAffine空間であるところに 「アレっ？」と思うかもしれませんが、慣習 的にそうなっています。解全体が線形空間 になるのは斉次方程式の場合です。 方程式の一部分だけみて、部分的にyやy' の一次の項か二次の項があるかないかで 判断するのは間違いの元ですし、 ＞・（logy）'や（siny）'などを含む微分方程式 ＞は非線形微分方程式と言う認識も正しい ＞でしょうか？ という疑問がでてくるのはそのためであるよ うに思います。
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- Tacosan
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#4 の「何度も質問されているのは、きっと方程式の見た目の”形”をパターン化して覚えようとしているからではないでしょうか。」は, おそらく反語で解釈すべきじゃないかなぁ. その意味で「仰る通りでございます。」で終わらせてしまうのは #4 の言っていることを理解できていないと思うよ. あと, 「解を導かなければ線形かどうかと言うのはわからない」ってことはないです. ちゃんと #4 に書いてあるよね, 「その解全体がAffine空間をなすかどうか」だ, って. 解全体がアフィン空間をなすかどうかは (少なくとも理屈的には) 解を知らなくても可能です. 余談だけど (d/dx)(log y)=f(x) と dy/dx = y f(x) とは, 厳密な意味では同値じゃないですよね＞#3. 前者には「恒等的に 0」が入らない....
- alice_44
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log(ax+b)=1 (a,bは定数) は一次方程式か？ とか、そういう話だよね。
補足
ご回答ありがとうございます。 私は、一次方程式ではないと考えています。 グラフを描いてみたのですが、y軸に対して平行なグラフ になりました・・・ y=logxなどは超越関数と呼ばれますが、log(ax+b)=1は 一次方程式なのでしょうか？ ご回答よろしくお願い致します。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
だって、dy/dx = y f(x) じゃないの。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
そうかね？ (d/dx)(log y)=f(x) は、 線型微分方程式じゃないかね？
補足
ご回答ありがとうございます。 xy'logx=xyといった問題は見たことがあったのですが、 （logy）'とされているものは見たことがありませんでした。 (d/dx)(log y)=f(x)は線形微分方程式なのですか？ どうして、線形微分方程式になるのでしょうか？ お手数をお掛けしますが、ご回答よろしくお願い致します。
- ereserve67
- ベストアンサー率58% (417/708)
>・（y^2)’+xy=1は非線形微分方程式という認識で正しいでしょうか？ その通りです．(y^2)'=2yy'はy,y'について１次ではなく，2次なので． >・（logy）'や（siny）'などを含む微分方程式は非線形微分方程式と言う 認識も正しいでしょうか？ その通りです．log(y),sin(y)はyについて１次ではないので．
補足
ご回答ありがとうございます。 教えて頂いた事を理解できていてよかったです。 例えば、 （log)’+xy=1などと言った問題を見たことがないのですが、 問題としてlogやsinやcosなどを用いた微分方程式もあるの でしょうか？ 以上、お手数をお掛けしますがご回答よろしくお願い致します。
補足
ご回答ありがとうございます。 ＞見た目の”形”をパターン化して覚えよう ＞としているからではないでしょうか。 仰る通りでございます。 ＞与えられた微分方程式が線形かどうかとい ＞の判断基準は、その解全体がAffine空間 ＞をなすかどうかです。 これは、もちろんそうだと思うのですがイマイチ理解 ができないので具体的な例題に落とし込んで考えて 行けば（パターンとして）見えてくるのかなと思って いました。 仮に、 （siny)’+xy=1 （cosy)’+xy=1 （logy)’+xy=1 などが与えられた場合に、解を導かなければ線形かどうか と言うのはわからないということでしょうか？ このような問題に当たったことがないので、問題としてありえない のかとも考えた次第です・・・ （私が簡単な例題しかやっていないと思いますが・・・） お手数をお掛けしますが、ご回答よろしくお願い致します。