数学の集合で閉じているの意味がわかりません

質問

高校数学、集合で「閉じている」という用語がありますが、よくわかりません。｛-1,0,1｝の集合は加法について閉じていないのでしょうか。-1+0=-1,-1+1=0,0+1=1となり、全ての要素が他の要素の加算により得られるので、加法について閉じているといえそうな気がするのですが。問題集の解答は、「乗法についてのみ閉じている」となっていますが、-1=-1*1,0=0*1,1=1*1だからでしょうか。あるいは、なにか根本的なところが理解できていないのでしょうか。
よろしくお願い致します。

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

＞ なにか根本的なところが理解できていないのでしょうか。

「閉じている」という言葉の意味が理解できていません。

集合 S が、ある演算について「閉じている」とは、
S の元をどれでも取ってきて、その演算を施すと、
値は S の元である　…ということです。
なので、No.1 が反例になります。

＞ 全ての要素が他の要素の加算により得られるので、
＞ 加法について閉じているといえそうな気がするのですが。

S の元はどれも、S の元からその演算で作られる
…という意味ではありませんよ。

お礼

よくわかりました。有り難うございました。

回答No.3

masa072

集合Aが演算*に対して閉じている，ということは，任意のAの元a,bに対してa*b∈Aとなることです。
今の場合，加法(演算は+)について閉じているならば，{-1,0,1}の任意の元a,bに対してa+b∈{-1,0,1}となります。しかし，a=b=1のとき，a+b=2∈{-1,0,1}にならないため加法では閉じていません。
乗法(演算は×)については，a,bが-1,0,1のどれであってもa×bは{-1,0,1}の元のどれか（即ち-1,0,1のどれか）になるため，乗法について閉じています。

というかこれは高校範囲ではなく，大学範囲では…

お礼

教科書にはないが、問題集にあるのでわからずに困っていました。
よくわかりました。有り難うございました。

回答No.1

denbee

加法については閉じていません。
反例として1+1=2があります。

お礼

そういうことですか。よくわかりました。有り難うございました。