加法と乗法について閉じているものはどれでしょうか？

質問

2×2行列からなる次の形(1)～(4)の集合のうち、加法と乗法について閉じているものはどれでしょうか？
1つ選んでください。
(1)
α...0
-β...1
(α,β∈複素数Ｃ)
(2)
α...β
-β'...0
(α,β∈複素数Ｃ,-β'は-βの複素共役数)
(3)
α...β
β...α'
(α,β∈複素数Ｃ,α'はαの複素共役数)
(4)
α...β
-β'...α'
(α,β∈複素数Ｃ,α'はαの複素共役数、-β'は-βの複素共役数)
という問題でなぜそれが正解になるのか、また他の選択肢はなぜ間違いなのかという根拠がテキストに書かれておらずわかりません。途中計算を含めて詳しい解説を宜しくお願いします。その際「加法と乗法について閉じている」について重点的にお願いします。

なお正解は(4)で、解説には以下のように書かれています。
加法と乗法で閉じているかどうかを確かめる問題だが、まず(1)は加法について閉じていないのは明らか(成分に1がある)。他は加法について閉じているのは明らかであるから、乗法が問題である。(2)(3)ではα=0に限ってテストしてみると少し楽だが、正直に計算しても大した事はない。

回答No.1

MagicianKuma

代数学(群・環・体)の分野の問題の場合は、最初に加法・乗法の定義をきちんと述べないとそれ以降の議論が進まないのですよ。
たぶん、よく知られた和と積のことなんだなとは思うけれど。さてその上でその演算が閉じているとは？どういうことか理解していますか？
集合G上に、ある演算☆が定義されていて、任意のa,b∈Gに対してa☆b∈Gになることです。ですから1つでもそうならない例(反例)をあげれば閉じていないことになります。
(1)では任意のa,b∈Gの和をとると右下の要素は必ず2になって、元の集合Gに含まれません。なので、明らかにと回答では書かれているのでしょう。
ちなみに私は「明らかに」という言葉は曖昧なのでよほどでないと使用しません。