自然数 ０×∞ 集合を使って

質問

さらに修正しました。
以下において、数はすべて自然数（０を含む）とします。

自然数とその加法を
　0 = {}
　a + 1 = {{}} ∪ {x∪{x} | x∈a}
という集合と写像だと考えます。
等号は、同じ集合（要素がすべて同じこと）を表します。

1 以外の加法は、結合法則が成立するように
　a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c
によって定義します。

自然数を具体的に示せば
　0 = {}
　1 = {{}} = {0}
　2 = {{},{{}}} = {0,1}
　3 = {{},{{}},{{},{{}}}} = {0,1,2}
などになります。

等号には、次の性質が存在します。
　0 = 0
　a = b ならば a + 1 = b + 1

これと結合法則から
　2 + 3 = 5
なども導けると思います。

加法を無限回行うことは
　a + a + a + ... = Σ[k=1,∞]a
などと表し、特に a = 1 を
　1 + 1 + 1 + ... = Σ[k=1,∞]1 = ∞
と表します。
これを無限公理（を若干修正した）
　∃A (∀x∈a (x∈A) ∧ ∀y∈A (y∪{y}∈A))
を満足する最小の集合と定義します。

∞ を具体的に示せば
　∞ = {0,1,2,...}
になります。
a = ∞ であれば、無限公理を満足する最小の集合はそれ自身であり
　∞ + ∞ = ∞
となります。

乗法は
　a × b = Σ[k=1,b]a
で定義します。ただし、b = 0 ならば
　a × 0 = 0
とします。

以上の定義に従って計算する時、
質問１：この式は正しいですか？
　1 + Σ[k=1,∞]1 = 1 + 1 + 1 + 1 + ... = Σ[k=1,∞]1
　Σ[k=1,∞]1 + 1 = 1 + 1 + 1 + ... + 1 = Σ[k=1,∞]1
あるいは ∞ を使って
　1 + ∞ = ∞ + 1 = ∞

質問２：この式は正しいですか？
　0 × Σ[k=1,∞]1 = 0
あるいは ∞ を使って
　0 × ∞ = 0

なお、∞ という記号に、ある集合を表す以上の意味はありません。
「加法を無限回行う」ことも、定義した演算のことです。
ただし、a ∈ b という関係を a < b で表すと
　0 < 1 < 2 < ... < ∞
なので、自然数よりも大きな数と考えることができます。

回答No.4

ibm_111

なんか不自然な書き方になってしまったので訂正。

つまり、

　a + 1 = {{}} ∪ {x∪{x} | x∈a}

と定義し、かつ、∞と∞∪{∞}は異なることから、∞≠∞+1です。

お礼

a = ∞ の場合に x = ∞ となるのであれば、
　∞ = {0,1,2,...,∞}
としなければなりません。それは違うんじゃないかな？

一般的な後者の定義は
　a + 1 = a∪{a}
だから a = ∞ なら a + 1 = ∞∪{∞} だろうけど。

> a + 1 = {{}} ∪ {x∪{x} | x∈a}
において、x = ∞ という値を取ることを証明してください。

回答ありがとうございました。

回答No.3

ibm_111

色々書こうかと思ったんですが、とりあえずこれだけ。

>その不等式を証明してみてください。
>ちなみに、a < b は a ≦ b とは異なり、 a = b は含まれません。
>よって、 ∞ ≠ ∞ + 1 を示してください。

それは「+1の演算」の定義からほとんど自明ですよ。
つまり、

　a + 1 = {{}} ∪ {x∪{x} | x∈a}

より、∞と∞∪{∞}は異なります。

回答No.2

ibm_111

> 　a + a + a + ... = Σ[k=1,∞]a
>のaです。自然数、そして∞としても問題ないことを次の段落で示しています。

つまり、a=N∪{∞}ですね。
すると、Aを具体的に書き下すと、こうなりますか？
A={0, 1,・・・,∞,∞+1,・・・}
「・・・」がやや曖昧ですが、当面無視します。

>∞ + ∞ + ... = ∞

この式はどこから出てきました？

>> したがって、質問1,2はいずれもNo、もしくは未定義とするとが妥当ですね。
>「したがって」って、どこから繋がるのですか？

直前からです。

>質問１の１つ目は、∞の定義と何ら変わらないと思いますし、

いや変わります。
加法を
　a + 1 = {{}} ∪ {x∪{x} | x∈a}
と定義した以上、

　1 + ∞ = ∞ < ∞ + 1

です。（普通の順序数と同じ）

お礼

> つまり、a=N∪{∞}ですね。

少なくとも、私が言ったのは　a ∈ N∪{∞}　です。
それが上のように書けるというのなら、過程も記述してみてください。

> すると、Aを具体的に書き下すと、こうなりますか？
> A={0, 1,・・・,∞,∞+1,・・・}

なりません。

a = ∞ だったとしても、その要素は 0,1,2,... なので
> 　∃A (∀x∈a (x∈A) ∧ ∀y∈A (y∪{y}∈A))
における x は ∞ を含んでいません。
よって、Aの要素にも ∞ は含まれません。

>>∞ + ∞ + ... = ∞
>
>この式はどこから出てきました？

>　a + a + a + ... = Σ[k=1,∞]a
から
　∞ + ∞ + ... = Σ[k=1,∞]∞
であり、これが a = ∞ とした場合の
>　∃A (∀x∈a (x∈A) ∧ ∀y∈A (y∪{y}∈A))
を満足する最小の集合と定義しています。
Aには∞の要素はすべて含まれ、∞の要素は後半の条件をすでに満たしています。

>>「したがって」って、どこから繋がるのですか？

> 直前からです。

意味が通らないので、説明をお願いしてみたんですが、無視されるなら仕方ありません。

> 加法を
> 　a + 1 = {{}} ∪ {x∪{x} | x∈a}
> と定義した以上、
>
> 　1 + ∞ = ∞ < ∞ + 1
>
> です。（普通の順序数と同じ）

その不等式を証明してみてください。
ちなみに、a < b は a ≦ b とは異なり、 a = b は含まれません。
よって、 ∞ ≠ ∞ + 1 を示してください。

回答ありがとうございました。

回答No.1

ibm_111

いろいろつっこめそうなところがあると思いますが、
自分に気づいたのは以下の通り。

>これを無限公理（を若干修正した）
>　∃A (∀x∈a (x∈A) ∧ ∀y∈A (y∪{y}∈A))
>を満足する最小の集合と定義します。

aとはなんですか？

>a = ∞ であれば、無限公理を満足する最小の集合はそれ自身であり
>　∞ + ∞ = ∞
>となります。

それまでの定義で、∞を含む演算は定義されていなかったかと。

したがって、質問1,2はいずれもNo、もしくは未定義とするとが妥当ですね。

お礼

> aとはなんですか？

> 　a + a + a + ... = Σ[k=1,∞]a
のaです。自然数、そして∞としても問題ないことを次の段落で示しています。

> それまでの定義で、∞を含む演算は定義されていなかったかと。

∞ + ∞ + ... = ∞
であるから
∞ + ∞ = ∞
となります。

∞ + ∞ ≠ ∞
であったら、前の式も成立しませんからね。

> したがって、質問1,2はいずれもNo、もしくは未定義とするとが妥当ですね。

「したがって」って、どこから繋がるのですか？

質問１の１つ目は、∞の定義と何ら変わらないと思いますし、
質問１の２つ目は、∞に対する単なる「+1」という演算であり、それは最初に定義されています。

質問２も、乗法の定義から求められると考えています。

いずれも ∞ + ∞ とは何の関係もないと思いますよ。

回答ありがとうございました。