確率分布の積分について質問です！

質問

確率分布を”－∞　～　∞”の範囲で積分すると１になるんだそうですが、なぜそうなるかが分かりません。
その理由を教えていただけませんか？
お願いします。

回答No.19

arrysthmia

ちなみに、「公理」というのは、
定義の部品を指す言葉です。
No.1 および No.2 を参照。

回答No.18

Ishiwara

つい先日、放送大学テレビで知りました。
公理だそうです。
ですから証明できませんし、する必要もありません。
先のことでわからないことがあったらご質問ください。

回答No.17

reiman

「異なる関数を同一視するということを受け入れることはできない」
は勘違いなので撤回。
分布関数が確定できればいいのであって密度関数は
実質的に同じ作用をする関数を同一視することは許容できる。
∫[x:-∞<x≦a]f(x)が確定できれるf(x)ならば問題無し。

回答No.16

arrysthmia

＞ 異なる関数を同一視するということを受け入れることはできない。

どうやら、関数と超関数の区別がついていないようだ。
超関数 f と g の同値は、∀x,f(x)=g(x) ではなく、
∀φ∈C^∞,∫f(x)φ(x)dx=∫g(x)φ(x)dx で定義される。
積分したら 0 になる密度の差が、分布の差である訳がなかろう。

δ関数の定義にしても、
∫[x∈S]δ(x-a)dx=1（ただし a∈S）そのものが定義であって、
定義に成立の理由などあろうハズもない。
ガウシアンの半分？ そもそも、初等関数の極限が超関数になる
という発想が尋常でない。関数は関数、超関数は超関数だ。

回答No.15

reiman

定義的だが
∫[x:x∈(-∞,a]]δ(x-a)dx=1
となる理由は
(-∞,a]=∩[x:a<x](-∞,x)
だから。
よってδ関数の定義を正規分布の半分の極限にする必要はなかった。

回答No.14

reiman

実用確率論においては
分布関数は右側連続関数あればよいが、
いたるところすなわち不連続点においても微分できなければならない。
そのためにδ関数の取り込みが必要だが
素性の悪い関数や異なる関数を同一視するということを受け入れることはできない。
素直な関数に如何に変な関数を追加しないでδ関数を追加するかということが望まれていたがシュワルツは望ましくない関数を含めざるを得なかったし異なる関数を同一視する無理も強要せざるを得なかった。
シュワルツのような広げ過ぎた理論は必要ない。

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図１（とんがり部分はガウシアンの半分）

の極限でδ関数のみを追加すれば良い。
素性の悪い関数は確率論にはいらない。

回答No.13

arrysthmia

＞ シュワルツの失敗はδ関数だけを取り込めず

これは、ディラックのδが、シュワルツ超関数として記述できない
という主張なのだろうかぁ？

回答No.12

reiman

定義は出発点であり
みんながそれに従わないと
グローバルのものでなくなり方言となり使う地域が限定される。
軽率なRaoは世の中を混乱させているだけである。

回答No.11

takurinta

分布関数の右側連続/左側連続問題にコメントします。
F(x)=Pr{X<=x}(竹内啓の「数理統計学」はこちら。右側連続)
と定義するか
F(x)=Pr{X<x}(Raoの"Linear Statistical Inference and Its Application"はこちら。左側連続)
と定義するかだけの差で、どちらでも好きなように、というのが結論ではないでしょうか。

回答No.10

reiman

シュワルツの失敗はδ関数だけを取り込めず素性の悪い関数も含めなければならなかったということ。
右側連続関数の微分は不連続点でδ関数項がでて一意に定まるが、
これは都合が良い。
左側連続関数は分布関数としてはあってはこまるので除外しなければならない。左側連続がまずいことはサイコロの目を考えれば分かるはず。
F(x)から始めると具わいのいい定義になる。