一様分布について

質問

問題に次のようなものがありました。

確率変数Ｘが区間〔０，１〕で一様分布とする。この時、Ｙ＝Ｘ＾３＋１のＥ(Ｙ)とＶａｒ(Ｙ)を求めよ。

とりあえずボクは普段の期待値を求めるように、積分範囲０～１においてＸ＾３＋１にＸをかけて積分したのですが、一様分布の場合何か特別なことをしなければならないのでしょうか？？

回答No.2

solla · ベストアンサー

> 普段の期待値を求めるように、積分範囲０～１においてＸ＾３＋１にＸをかけて積分
> したのですが、

この部分が誤りです。期待値の求め方を誤解されているようです。通常、Xの期待値を求めるにはXに「密度関数を」掛けて積分します。「Xを」掛けるのではありません。
また一様分布が他の分布に比べて何か特別なことがあるわけではありません。

一般に、密度関数f(x)を持つ確率変数Xがあるとき、Xの関数h(X)の期待値は

E[h(X)]=∫h(x)f(x)dx

です。Xの期待値を求める場合はh(X)=Xとして、

E(X)=∫xf(x)dx

となり、質問者さんがおっしゃる「普段の」期待値になります。このxとf(x)の役割を誤解されているようですね。

質問の場合、Y=X^3+1の期待値ですから、h(X)=Y=X^3+1であり、また密度関数は、

f(x)=1 x∈[0,1]
f(x)=0 otherwise

ですから

E(Y)=E(X^3+1)
　　=∫(X^3+1)f(x)dx　積分区間(-∞,∞)
　　=∫(X^3+1)・1dx　積分区間[0,1]

となります。分散も同様にして

Var[h(X)]=∫{h(x)-E[h(X)]}^2・f(x)dx

において、h(X),f(x)を上と同様に置き換えれば求まりますし、もしかするとY^2=(X^3+1)^2の期待値を求めて、Var(Y)=E(Y^2)-E(Y)^2をつかって求めた方が多少計算が楽かもしれませんが。

お礼

大変参考になりました。ありがとうございました。

回答No.1

koko_u

X で積分してませんか？
確率変数 X は t ∈ [0, 1] の関数と見て、t で積分して下さい。

お礼

回答ありがとうございます。どうやら完全にボクは一様分布を理解していないようです。一度具体的に求め方など教えていただけるとありがたいです。