確率分布の積分について質問です！

質問

確率分布を”－∞　～　∞”の範囲で積分すると１になるんだそうですが、なぜそうなるかが分かりません。
その理由を教えていただけませんか？
お願いします。

回答No.9

arrysthmia

「超関数として」を強調しながら、δ関数が積分できないのでは、
ちょっとバランスが悪いですね。
ヘビサイド関数は、単なる階段関数ではなく、超関数のひとつです。
だからこそ、「超関数として微分」ができる。
x=0 での値が、一見、不定に見えても、x=0 近傍での積分が確定して
一致していれば、超関数としては、同じものです。
それは、「重大な欠陥」どころか、超関数の性質そのものです。

回答No.8

reiman

F(x,y):
F(-∞,-∞)=0
F(∞,∞)=1
F(x,y)はxについて非減少
F(x,y)はyについて非減少
F(x,y)はxについて右側連続
F(x,y)はyについて右側連続

f(x,y):=Fxy(x,y)

回答No.7

reiman

1次元の定義：
確率分布関数F(x)の定義は
（１）F(－∞)=0
（２）F(＋∞)=1
（３）F(x)は単調非減少
（４）F(x)は右側連続
なお、多次元への定義の拡張は猿でもできるでしょう。

確率密度関数f(x)の定義：
f(x):=F'(x)　（超関数の意味での微分）

密度関数により分布関数を定義できない理由：
F(x)=0(x<0),1(0≦x)
ならば
f(x)=F'(x)=δ(x)
と出きるが、
f(x)=δ(x)
ならば
F(x)=0(x<0),1(0≦x)
も
F(x)=0(x≦0),1(0<x)
も
F(x)=0(x<0),1(0<x),a(x=0)
もありうる。(ただし、aは任意実数)
つまりf(x)を定義の出発点とすると重大な欠陥が露呈する。

離散分付と連続分布を分離できない理由：
F(x)=0(x<0),0.5(1+x)(0≦x<1),1(1≦x)
の場合は
v(x)=0(x<0),0.5(0≦x<1),0(1≦x)
とすると
f(x)=0.5δ(x)+v(x)
でありこれは十分に実際に扱い得る確率であり、
連続分布と離散分布を切り離すことができない根拠になる。

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に上から転がるが跳ねないボールを落とすときに
ボールが落ち着く先のx座標を確率変数とする場合
を考えればよくわかるはずです。

回答No.6

arrysthmia

＞ f(x)からF(x)を定義すると
＞ F(x)が一意に定まらない。
そんなことは、ありません。何か勘違いしているのでは？

やはり、離散と連続が一括して扱える方法の方が良いです。
その際、離散分布をδ関数で連続分布にスリ替えたりせずとも、
離散の場合と連続の場合が自然に同じ定理で扱えることが理想。
確率密度を測度と考える方法は、そうなっています。

回答No.5

reiman

最終案：1次元の分布の定義は以下の様にする。

確率分布関数F(x)の定義は
（１）F(－∞)=0
（２）F(＋∞)=1
（３）F(x)は単調非減少
（４）F(x)は右側連続
です。

確率密度関数f(x)の定義は
f(x):=F'(x)　（超関数の意味での微分）
です。

これを他次元化して定義すれば鬼に金棒です。
実用上すべての確率は多次元実数への1対1対応を使いカバーされます。

やはり離散と連続が一括して扱える方法の方が良いでしょう。
f(x)からF(x)を定義すると例えば
f(x)=(δ(x-1)+δ(x-2)+δ(x-3)+δ(x-4)+δ(x-5)+δ(x-6))/6
の場合にF(x)が一意に定まらない。

回答No.4

arrysthmia

確率論を測度論として考えるときには、
累積分布関数を定義して微分するよりも、
確率密度関数を定義して積分するほうが
普通です。
そっちが、「測度」ですからね。
測度より先に積分を定義して始める
測度論というのは、ちょっと聞かない。

確率変数の変域は、-∞～∞にこだわらない
ほうがよいでしょう。
例えば、サイコロの確率は、δ関数を持ち出すよりも、
有限集合上の離散測度と考えたほうが、
簡潔だし、測度論的だと思います。

回答No.3

reiman

修正：超関数の意味で可隻分→超関数の意味で微分可能

確率分布関数F(x)の定義は
（１）F(－∞)=0
（２）F(＋∞)=1
（３）F(x)は単調非減少
（４）F(x)は超関数の意味で微分可能
です。

確率密度関数f(x)の定義は
f(x):=F'(x)　（超関数の意味での微分）
です。

回答No.2

reiman

確率分布関数F(x)の定義は
（１）F(－∞)=0
（２）F(x)はF(＋∞)=1
（３）単調非減少
（４）超関数の意味で可積分
です。

確率密度関数f(x)の定義は
f(x):=F'(x)　（超関数の意味での微分）
です。

∫[x:-∞→∞]f(x)dx=1の証明：
∫[x:-∞→∞]f(x)dx=F(∞)－F(-∞)=1－0=1

f(x)には他の主要な性質として
・f(x)は右側連続
があります。

ちなみに
サイコロの目の確率密度関数は
f(x)=(δ(x-1)+δ(x-2)+δ(x-3)+δ(x-4)+δ(x-5)+δ(x-6))/6

回答No.1

arrysthmia

「なぜ」と言っても…

値が正で、定義域全域に渡る積分が１になる関数
を「確率密度関数」と呼ぶ。これは、定義です。

確率密度関数が在れば、それが何かの確率分布を
表現していると考える。「確率分布」という曖昧な
用語の定義っぽいものは、そうなっています。

「そうなる」んじゃなくて、「そうきめた」んですよ。

お礼

なるほど、そういうことだったんですね。
ありがとうございました。