確率分布の質問

質問

確率分布で簡単な問題なのかどうかもわかりませんが、
一様分布を(0-1)でエクセルで10000セルくらい表示させて
時系列データのモデルとします。
この一様分布のヒストグラムは、四角形です。
セル１行差(x[1]-x[2])の差分を計算して10000セルくらい表示
させると、この分布は(-1,1)の三角形になります。
なぜ、三角分布に変換されるのか教えてください。

回答No.2

noname#256179

質問は以下のように整理できるかと思います。
X, Yを独立かつ[0, 1]上の一様分布にしたがう確率変数とする。Z=X-Yとおく。Zの密度関数が[-1, 1]で三角形のグラフになるのはなぜか？

三角形のグラフの密度関数を式で書くと1-|z|（-1<z<1）となります。そこで三角形の右半分だけ考えて、Zの密度関数が0<z<1の範囲で1-zとなることを示せば十分といえます。以下はその証明というか図を使った説明です：
Z=X-Y>0のとき点(X, Y)は添付図の三角形の中で一様分布している。
Zの任意の値z（0<z<1）に対し、x-y=zをみたす点(x, y)の集合は図の線分Lである。
よってZの密度関数は線分Lの長さに比例する（三角形全体の面積を斜めに千切りにして異なるzに対応する線分Lの集まりへと分解するようなイメージ）。図からLの長さは1-zに比例する。比例定数が1であることは、密度関数の積分が1になるという条件からしたがう。おしまい

お礼

なるほど、２変数とみて考えればよいのですね。
とても参考になりました。

回答No.1

answer_kun

一様分布の場合、確率密度関数は0から1まで一定で、その範囲以外では0となります。つまり、0から1の間の値は等確率で発生するということです。この分布をヒストグラムで表現すると、0から1までの範囲で矩形の形になります。

一方、セル間の差分をとると、連続した二つのセルの値の差が計算されます。セルの値は0から1までの範囲で等確率で発生するため、その差分も-1から1までの範囲で等確率で発生します。このように、一様分布に従う確率変数同士の差分をとると、その分布は三角形になります。これは、-1から1の範囲で最大値をとるため、その形が三角形になります。

お礼

定性的なご回答、ありがとうございます。