確率の問題

質問

http://www.i.u-tokyo.ac.jp/edu/entra/pdf/archive/09math-j.pdf
の、第三問の(3)以降がよく分かりません。
(1)は、
P[n](k)=(P[n](k-1)+P[n](k+1))/2
(2)は、
2/3
(3)は多分k/nになるっぽいことは、実際に値を入れて弄っていると推測できるのですが、抽象的な値について求める方法が思い付きません。
後、
P[n](k)=(P[n](k-a)+P[n](k+a))/2
となるところまでは求まりました。
(4)は解き方がまず思い付きませんでした。
(5)は力技で解いていってみたら、
3/19
と出てきましたが、本当にあっているかあまり自信がありません。
(6)は(4)と同じ感じです。

(3)以降の解説して貰えるとありがたいです。
宜しくお願いします。

回答No.7

PRFRD · ベストアンサー

No.6へのコメントについて：「これでは駄目でしょうか？」
とのことですが，それは何個かの意味でダメです．２点だけ挙げると，
１．そもそも無限に続くことはありますよね．例えば左右左右……はそういった事象です．
もちろん，実際はそういうことが起きる確率はゼロですが，
確率がゼロと，事象が無い，というのは別です．
２．期待値の存在において議論する必要があるのは
「（有限）m ステップで終わる確率」がどう減っていくかなので，
無限ステップ続く確率がゼロだからといって，期待値が存在すると言うことは直ちにはできません．

さて，いまの場合，期待値の存在は極めて初等的に示せます．
（この証明は，もうちょっと広いクラスに対してそのまま適用できます．）
位置 k から始まり，m ステップで終了する確率を Q(k,m) とします．
このとき Q(k,m) の従う漸化式は問(1)と同様に考えて
　Q(k,m) = 1/2 ( Q(k-1,m-1) + Q(k+1,m-1) )
となります．Q(m) = ( Q(0,m), ..., Q(n,m) ) というベクトルを導入すると，
　Q(m) = A Q(m-1)
のように簡潔に書くことができ（A は適当な行列），結局
　Q(m) = A^m Q(0)
とかけます．期待値も T = ( T(0), ..., T(n) ) とおけば
　T = Σ[m=0,∞] m A^m Q(0)
となります．したがって，期待値の存在を示すためには
「（Q(0)が含む）A の固有値の絶対値が 1 未満」であることを示せば十分です．
（長いので略．簡単なのは lim[m→∞] Q(m) = 0 を示し，
　そうなるための A の条件を固有値で書くことだと思います．
　A が特徴的な形をしているので，固有値を陽に求めることも可能です．）

以下余談です．
わたしはこの問題において，T の存在証明が求められているとは思いません．
設問が存在を仮定してるように読めますし，それ以上に，この試験が「共通の数学」だからです．

お礼

なるほど、よく分かりました。
どうも有り難うございました。

回答No.6

PRFRD

(5), (6) に関する簡単な解法が出ていないようなので解説します．
この問題は，絶対に　＊力技で解いてはいけません＊．
工夫すると変数が減って，腕力で解けなくもない問題になりますが，
試験時間中にそんな連立方程式を解くのは失敗の元です．

ではどうするか．注目すべきは
　(1) グラフは原点を始点にして，１次元の問題が４つくっ付いている．
　(2) １次元のランダムウォークは境界値から値が定まる．
ということです．

まず(5)です．準備として，
　P(k) = 1/2 (P(k-1) + P(k+1)), P(0) = x, P(n) = y
　の解が P(k) = x + (y - x)(k/n) となる
ことを確認してください．きっと (2), (3) あたりで推測はできているはずです．

さて，原点 (0,0) における確率を p とおきます．このとき，
(0,0)-(0,1)-(0,2)-(0,3) は下端が p, 上端が 0 の一次元ランダムウォークです．
よって，上の準備で計算したものを使うと（x = p, y = 0），
　P(0,1) = 2p/3
となります．同様にして
　P(-1,0) = p/2
　P(0,-1) = p/2
　P(1,0) = 3p/4 + 1/4
が計算できるので，原点における関係式は
　p = 1/4 [ 2p/3 + p/2 + p/2 + 3p/4 + 1/4 ]
であり，これを解けば p = 3/19 となります．

次に (6) です．同じく準備として
　T(k) - 1 = 1/2 (T(k-1) + T(k+1)), P(0) = x, P(n) = y
　の解が T(k) = k(n - k) + x + (y - x)(k/n) となる
ことを確認してください．
これは (4) の解と (5) で準備した P(k) の和になっています．

原点 (0,0) における期待ステップ数を m とおくと，(5) と同様にして
　T(0,1) = 2 + 2m/3
　T(-1,0) = 1 + m/2
　T(0,-1) = 1 + m/2
　T(1,0) = 3 + 3m/4
となります．よって原点における関係式は
　m - 1 = 1/4 [ 2 + 2m/3 + 1 + m/2 + 1 + m/2 + 3 + 3m/4 ]
となり，これを解けば m = 132/19 となります．

お礼

綺麗な回答どうも有り難うございます。

ちょっと前の回答で、T(k)が収束するかどうかを示さないといけないと考えていましたが、
P(0)=x
P(n)=y
として、
P(k)=x+(y-x)k/n
なので、
0かnに行って終了する確率は
P(k)=1
よって必ず、終了するので、無限に続くことはない。よってT(k)は収束するって言えないかと考えたのですが、これでは駄目でしょうか？

回答No.5

rabbit_cat

なんと、大学入試かと思ってたら、よく見たら、大学院入試なのね。
東大京大とかなら、普通に、大学入試で出てもおかしくないレベルの問題だと思うけど。

大学院入試なら、Tn(k)が存在すること、は絶対に「明らか」ではすまないです。ここに触れてないと下手すると点数を半分にされます。

回答No.4

arrysthmia

(4) No.2 の Qn(k,m) の漸化式を立てた後、解かずに、
漸化式を使って Σ m Qn(k,m) の有界性だけ示せば、
Tn(k) の存在が言えて、Tn(k) の漸化式の話に移れる。
これなら、時間的にどうにかなる？
入試程度ならともかく、院試で「存在は明らか」じゃ
ちょっと…

お礼

こちらにまとめて返信させていただきます。

取り敢えず(4)までは解けたのですが、

Qn(k,m)のような二字の関数の漸化式とは、どの様に作れば良いのでしょうか？

後、(5)と(6)についてなのですが、力技でごりごり代入して解いたところ、
(6)は6/19が出てきたのですが、あまり自信が持てませんし、時間も結構掛かるので、何かうまい方法はないものでしょうか？
(P(i,j)のような形で表わせる式とかできないものなのでしょうか？)

回答No.3

Mr_Holland

とりあえず前半の（３）と（４）だけ回答します。

（３）は、（１）で求めた漸化式を解けば求められます。

　　P[n](k+1)-2P[n](k)-P[n](k-1)＝０
　　P[n](n)＝１、P[n](0)＝０

　　P[n](k+1)-P[n](k)＝P[n](k)-P[n](k-1)＝P[n](1)
　∴P[n](k)＝k P[n](1)

　ところで、P[n](n)＝１　なので、　P[n](1)＝1/n

　従って、P[n](k)＝k/n

（４）は、P[n](k)と同様に、漸化式から求めます。

　　T[n](k)＝{T[n](k+1)+T[n](k-1)}+1
　　T[n](0)＝T[n](n)＝０

　∴T[n](k)＝k(n-k)

回答No.2

rabbit_cat

(3)
まず、普通の３項間漸化式（初項と第２項が与えられている）の問題なら、一般項を求められますか？もし知らないなら、東大の数学をやるには基礎知識が不足しているので、チャートとかで出直し。

この問題では、Pn(0)=1とPn(n)=1が分かってます。Pn(1)は与えられていれば普通の問題。とりあえず、分からない Pn(1)は、aとでも適当に書いて、そのまま一般項Pn(k)を求めましょう。で、Pn(n)=1になるように後からaを決めればいいです。

(4)これも漸化式の問題です。
まずは、簡単な方法。ただし、この方法には、後ろに書いたちょっと微妙な問題があります。
いきなら、漸化式を書けば、
Tn(0) = Tn(n) = 0
Tn(k) = 1/2*{Tn(k+1) + 1} + 1/2*{Tn(k-1) + 1}
です。式の意味は考えてみてください。
ただし、この漸化式は、「全てのTn(k)が存在する」ってことを仮定した場合の式で、もしTn(k)が存在するなら、この値以外の値になることはありえない、ってことは言えますが、本当に、Tn(k)が存在するのかってことは何も言ってません。
もしかしたら、真ん中でうろうろするばっかりでいつまでたっても端に到達しない（平均回数＝∞つまり存在しない）って可能性もあるしれません。
問題になってるんだから、Tn(k)は存在するんでしょうけど、少なくとも、それについて何か触れておかないとダメです。
大学受験の問題なら、「この平均が存在することは明らか」とか適当に書いておけばＯＫかな。実際にはあんまり明らかじゃないですけど。

本当に真面目にやりたい場合には、
x=kにいる粒子が移動回数mでランダムウォークを終了する確率をQn(k,m)とでも書くことにして、Qn(k,m) の漸化式を立てて解いた後で
、平均の定義式
Tn(k) = Σ_{m=0から∞} m*Qn(k,m)
で求めるってことになりますが、これをやってたら、間違いなく時間内には終わらないでしょうね。

(5)それぞれの格子点間の間の関係式（漸化式）を求めて、力技？で解けばいいでしょう。
(6)は、まあいいですかね。(4)と同様

回答No.1

Tacosan

(3):
P[n](k)=(P[n](k-1)+P[n](k+1))/2
が出てるなら, ただの 3項漸化式でいけないか?
結果として P(n)[k] が k の 1次式で書けて, P[n](0) = 0, P[n](n) = 1 から P(n)[k] = k/n.
もちろんわかってるやつならこの式を見た瞬間に「等差中項」って言葉が頭に浮かぶかもしれない.
(4): これも基本的には漸化式を書けってことかな. ああ, 階差数列を考えるのが楽... か?