確率の問題です。

質問

次の問題を教えてください。
一方の面が白、もう一方の面が黒のカードが５枚あり、５枚すべて白の面を上にして横一列に並べた状態から次の操作を行う。
さいころを振り、n(n=1,2,・・・,5)の目が出たときは、左からn番目のカードを裏返し、６の目が出たときは、すべてのカードを裏返す。
この操作を３回行ったあと、黒の面が上になっているカードの枚数がkである確率を
Ｐkとするとき、次の各問いに答えよ。

（１）kのとり得る値を求めよ。
（２）Ｐ3 Ｐ5をそれぞれ求めよ。
（３）黒の面が上になっているカードの枚数の期待値を求めよ。
です。　お願いします。

回答No.2

noname#598 · ベストアンサー

大変請謁ではありますが、No.1は確率を全部足すと１にならないので、
どこか違うみたいです。

この手の問題は、必ず漸化式に従うことが分かっています。
ｎ回試行を繰り返した後に黒がｋ枚である確率をP(n,k)とします。

P(1,0)=0,P(1,1)=5/6,P(1,2)=P(1,3)=P(1,4)=0,P(1,5)=1/6

ｎ番目まで求まったとして、n+1番目を考えます。

k=0のとき、次の2通りが考えられる。
P(n,1)の状態から、白の番号と同じ目が出る(1/6)
P(n,5)の状態から、６の目が出る。
よって、
P(n+1,0)=(1/6)P(n,1)+(1/6)P(n,5)

k=1のときは、次の３通りが考えられる。
P(n,0)の状態から、１～５の目が出る(5/6)
P(n,2)の状態から、黒の番号と同じ目が出る(1/3)
P(n,4)の状態から、６の目が出る。
よって、
P(n+1,1)=(5/6)P(n,0)+(1/3)P(n,2)+(1/6)P(n,4)

k=2のときは、
P(n,1)の状態から、白の番号と同じ目が出る(2/3)
P(n,3)の状態から、黒の番号と同じ目が出るか、６の目が出る(2/3)
よって、
P(n+1,2)=(2/3)P(n,1)+(2/3)P(n,3)

あとは対称性に気づけば、
P(n+1,3)=(2/3)P(n,2)+(2/3)P(n,4)
P(n+1,4)=(1/6)P(n,1)+(1/3)P(n,3)+(5/6)P(n,5)
P(n+1,5)=(1/6)P(n,0)+(1/6)P(n,4)

もう一度並べなおします。
P(1,0)=0,P(1,1)=5/6,P(1,2)=P(1,3)=P(1,4)=0,P(1,5)=1/6
これが初期条件です。

P(n+1,0)=(1/6)P(n,1)+(1/6)P(n,5)
P(n+1,1)=(5/6)P(n,0)+(1/3)P(n,2)+(1/6)P(n,4)
P(n+1,2)=(2/3)P(n,1)+(2/3)P(n,3)
P(n+1,3)=(2/3)P(n,2)+(2/3)P(n,4)
P(n+1,4)=(1/6)P(n,1)+(1/3)P(n,3)+(5/6)P(n,5)
P(n+1,5)=(1/6)P(n,0)+(1/6)P(n,4)

よって、この連立漸化式を解けばｎ回後も算出可能です。
３回後ということで、この漸化式を解かなくても、
n=1,n=2を、次々に代入して値を計算すれば、
（２）（１）（３）の順で一気に解けます。

つまり、n=1のときは、
P(2,0)=(1/6)P(1,1)+(1/6)P(1,5)=5/36+1/36=1/6
P(2,1)=(5/6)P(1,0)+(1/3)P(1,2)+(1/6)P(1,4)=0
P(2,2)=(2/3)P(1,1)+(2/3)P(1,3)=10/18=5/9
P(2,3)=(2/3)P(1,2)+(2/3)P(1,4)=0
P(2,4)=(1/6)P(1,1)+(1/3)P(1,3)+(5/6)P(1,5)=5/36+5/36=5/18
P(2,5)=(1/6)P(1,0)+(1/6)P(1,4)=0
この６つの確率を足すと１になる。（確認です）

n=2のとき、
P(3,0)=(1/6)P(2,1)+(1/6)P(2,5)=0
P(3,1)=(5/6)P(2,0)+(1/3)P(2,2)+(1/6)P(2,4)=5/36+5/27+5/108=40/108=10/27
P(3,2)=(2/3)P(2,1)+(2/3)P(2,3)=0
P(3,3)=(2/3)P(2,2)+(2/3)P(2,4)=10/27+5/27=15/27=5/9
P(3,4)=(1/6)P(2,1)+(1/3)P(2,3)+(5/6)P(2,5)=0
P(3,5)=(1/6)P(2,0)+(1/6)P(2,4)=1/36+5/108=8/108=2/27
この６つの確率を足すと１になる。（確認です）

（１）ｋ＝１，３，５　（確率が０にならないところを拾えばいいから）
（２）Ｐ3＝5/9，Ｐ5＝2/27
（３）1*10/27+3*5/9+5*2/27=10/27+15/9+10/27=65/27

お礼

早速の回答ありがとうございました。詳しく答えていただいたのでこれを参考にして頑張ってみます。

回答No.1

hero1000

やっつけで解いてますがあしからず・・・（汗）
樹形図を描くのは厳しいので文章で説明しますがご了承ください。

(1)kのとり得る値を求めよ
　まずサイコロを1回振ったときの黒の枚数の変化には、
　a)1枚増える（現在白のカードに対応する目が出たとき）
　b)1枚減る（現在黒のカードに対応する目が出たとき）
　c)(現在の白の枚数)枚になる（6が出たとき）
　の３通りしかないことに注目です。

　最初は黒のカードが0枚のところから始まります。ここからサイコロを１回
振ると、上記(b)は発生しないので次の黒カードの枚数は1枚か5枚のどちらか
しかありません。
　では2回目のサイコロではどう変化するでしょうか。
　黒が1枚だったときは、上のa)～c)は全て起こり得るので、0,2,4枚のいず
れかになります。そして黒が5枚だったときはa)が発生しないので0,4枚のいず
れかになります。つまり、2回目が終った時点では0,2,4枚のいずれかです。
　そして3回目のサイコロでの変化はどうでしょう。
　黒が0枚だったときは1,5枚のいずれか。
　黒が2枚だったときは現在白のカードに対応する目が出たときと６が出たとき
は同じ枚数になるので1,3枚のいずれか。
　黒が4枚だったときは1,3,5枚のいずれか。

　というわけで答えは「k=1,3,5」が取り得る値になります。

(2)P3、P5をそれぞれ求めよ。
　(1)で解いた内容を元にして黒の枚数の変化をまとめてみます。
　1回目以降、サイコロを振ったときの黒の枚数の移り変わりは、
　・1→0→1　・・・(d)
　・1→0→5　・・・(e)
　・1→2→1　・・・(f)
　・1→2→3　・・・(g)
　・1→4→1　・・・(h)
　・1→4→3　・・・(i)
　・1→4→5　・・・(j)
　・5→0→1　・・・(K)
　・5→0→5　・・・(l)
　・5→4→1　・・・(m)
　・5→4→3　・・・(n)
　・5→4→5　・・・(o)
　で全部です。
　さて、ここで問題(1)で出てきたa)～c)が起る確率を求めてみます。
　その時に白であるカードの枚数をtとすると、
　a)が起る確率＝t/6
　b)が起る確率＝(5-t)/6
　c)が起る確率＝1/6
　です。

　では、この3パターンの確率を元に、P3とP5を求めてみましょう。
　上の(d)～(o)が起る確率をP(d)～P(o)とすると、
　P3=P(g)+P(i)+P(n)
　P5=P(e)+P(j)+P(l)+P(o)
　となり、
　P(e)=(5/6)×(1/6)×(1/6)=5/216
　P(g)=(5/6)×(4/6)×(4/6)=80/216
　P(i)=(5/6)×(1/6)×(4/6)=20/216
　P(j)=(5/6)×(1/6)×(1/6)=5/216
　P(n)=(1/6)×(5/6)×(4/6)=20/216
　P(o)=(1/6)×(5/6)×(1/6)=5/216
　よって、
　P3=(80+20+20)/216=120/216=5/9
　P5=(5+5+5+1)/216 = 16/216 =2/27
　となります。

(3)黒の面が上になっているカードの枚数の期待値を求めよ
　P1を求めます。
　P1=P(d)+P(f)+P(h)+P(K)+P(m)=(25+40+5+5+5)/216=80/216=10/27

　よって、期待値は
　10/27 + 5/3 + 10/27 = (80+360+80)/216 = 520/216
　　　 = 65/27 ≒ 2.407
　です。

お礼

早速の回答ありがとうございました。これを参考にして頑張ってみます。