確率論

質問

問題
標本空間Ω＝{a,b,c,d}があり、P({a})=1/2 ,P({b})=1/3 ,である。
Ａ={a,b} , B={a,c}とする。

（１）ＡとＢが独立の時、P({a}) ,P({b}), P(A∪B), P(A｜B)を求めよ。

問題
次の値を求めよ。
（４）（(k=1)をn)ΣnCk2＾k

（５）（(k=30)を60)Σ(5K-2)

宜しくお願い致します。

回答No.2

yskfr

(1)
AとBは独立ならば、
P(A∩B)=P(A)・P(B)
ですね。

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A)・P(B)
P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=P(A)
です。

P(A)=P({a,b})=P({a})+P({b})=5/6
P(B)=P({a,c})=P({a})+P({c})=1/2+P({c})
なので、
P(A∪B)=5/6+1/2+P({c})-(5/6)・(1/2+P({c}))=11/12+(1/2)・P({c})
P(A|B)=5/6
となりますかね。

(4)
3^k
=（1+2）^k
=ΣnCk・1^(n-k)・2^k
=ΣnCk・1^(n-k)・2^k
=ΣnCk・2^k

かな？

(5)
Σは線形性があるので
Σ(5K-2)
=5Σk-Σ2
=5・{(60+30)・30/2}-2・30
=6690

回答No.1

MagicianKuma

最初の問題はありそうであまり見かけない問題に思えます。が基本を押さえていれば難しくはありません。
まず標本空間とあったとき、その元はすべて排反ということ。当たり前の事ですが。
また、事象A={a,b}とあったとき、その事象Aの起こる確率はその元の起こる確率の和です。P(A)=P({a})+P({b})
事象Aと事象Bが独立　⇔　P(A∩B)=P(A)P(B)　または　事象Aと事象Bが独立　⇔　P(A|B)=P(A)
以上を踏まえて解きましょう。
(1)-1　P({a}) = 1/2　問題より提示されている。
(1)-2　P({b}) = 1/3　問題より提示されている。
(1)-3　A∪B={a,b,c}　P({c})が分かれば答えがでる。
　　　A＝{a,b}なので、P(A)=P({a})+P({b})=1/2+1/3=5/6
　　　A∩B={a}なので、P(A∩B)=P({a})=1/2
　　　一方、事象AとBが独立であれば、P(A∩B)=P(A)P(B)
　　　P(B)=1/2/(5/6)=3/5
　　　P(B)=P({a})+P({c}) から　P({c})=3/5-1/2=1/10
　　　P(A∪B)=1/2+1/3+1/10=14/15
(1)-4　P(A|B)=P(A)=1/2+1/3=5/6