数学 行列証明

質問

A,Bをともに３×３行列とするとき、|AB|＝|A||B|が成り立つことを
証明せよ。

わからないので至急教えてください。
お願いします。

回答No.11

Akira_Oji

Ｎｏ．１０のＡｋｉｒａ＿Ｏｊｉですが、添付ファイルがうまくいかなかったようです。（添付するのが初めてだったので、できるかなと思っていましたが、「添付する」ボタンが見つかりませんでした。タイプしたＭＳ　Ｗｏｒｄには　Ｅｑｕａｔｉｏｎ　を使っていますので　そのまま、ここにはコピーできません。添付できるものは、Ｊｐｅｇの画像とのことですね。）

（2x2）の二つの行列ＡとＢは以下のような４つの要素を持つとする。
［２行２列の数字が並んでいる。］

A=
[a b]
[c d]

（縦に並んでいる小さな二つの括弧は実は一つの長い括弧。長い二本の括弧の間に２行２列の数字が並んでいる。）以下などのサイトを参照。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97

B=
[p q]
[r s]

行列の積は次のように定義さられています。
(掛ける順序が違うと積の答えが違います。)
AB=

[a b] [p q]=
[c d] [r s]

[ap+br aq+bs]
[cp+dr cq+ds]

（"="の記号が式の後ろに付いているのは行列の並びを揃えるため。縦に並んでいる小さな二つの括弧は実は一つの長い括弧。）

BA=
[p q] [a b]=
[r s] [c d]

[pa+qc pb+qd]
[ra+sc rb+sd]

行列式のほうは次のように定義されています。
（二つの縦棒で行列の記号を挟んだ記号）以下などのサイトを参照。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F

|A|=

|a b|=ad-bc
|c d|

（縦の二つの棒は繋がっています。長い二本の棒の間に２行２列の数字が並んでいる。）

|B|=

|p q|=ps-qr
|r s|

従って、行列の積の行列式は
|AB|=

|ap+br aq+bs|
|cp+dr cq+ds|

=(ap+br)(cq+ds)-(aq+bs)(cp+dr)
=apcq+apds+brcq+brds-aqcp-aqdr-bscp-bsdr

ちょっと、文字の並びをアルファベット順にして、

|AB|=acpq+adps+bcqr+bdrs-acpq-adqr-bcps-bdrs

となりますが、第１項と第５項、第４項と第８項が打ち消しあいますので、

|AB|=adps+bcqr-adqr-bcps

第１項と第３項には共通因子adがあり、第２項と第４項には共通因子bcがありますので、因数分解して

|AB|=ad(ps-qr)+bc(qr-ps)=ad(ps-qr)-bc(ps-qr)=(ad-bc)(ps-qr)

この最後の二つの因子は|A|と|B|になっています。したがって、

|AB|＝|A||B|

となります。
|BA|も同じようにして次のようになります。
（是非、ご自分でもやってみてください。）

|BA|＝|B||A|＝|A||B|

よって、「行列の積の行列式」は「各行列の行列式の積」になる。

３ｘ３の場合も基本的には同じですが、計算量がかなり増えます。

お礼

親切にありがとうございます。
参考にさせていただきます。

回答No.10

Akira_Oji

前略。
回答者のみなさんのおっしゃる通りですが、質問者の今後の勉強を期待して、３ｘ３行列ではなく、２ｘ２行列で説明したいと思います。レポートにもまずは２ｘ２で説明して、もし必要ならば３ｘ３に行くということで、人の前で発表するのは、簡単なほうがいいので、使えると思いますよ。（「二つの３ｘ３行列や行列式の計算は煩雑なだけなので、２ｘ２でエッセンスを説明したいと思います。」とでも前置きしてやれば、いいのではないでしょうか。）

説明は添付ファイルにて。

回答No.9

arrysthmia

＞ 教養演習なのでレポートをだして発表するのが目的なので..

レポートを書くこと、口演を行うこと、のスタイルに慣れることが
主目的のコースなのですね。数学ではなく。
だとすれば尚更、題材が未習ならば、自分で調べることが大切。
既に知っているかどうかより、調べてレポートに仕立てることが
できるかどうかが、問われているのです。
図書館へ行って、線型代数の易しい入門書を見つけて、
行列式の定義を確認して、おそらくその章の最初の方に載っている
この定理の証明を理解し、授業で発表できるようにする。
その過程が、演習です。
レポートの参考文献表に「教えて！goo」と書くことはできませんよ。

回答No.8

koko_u_u

>教養演習なのでレポートをだして発表するのが目的なので..
>大学の授業は難しいです。

単に受講する講義の選択を間違えているだけだと思います。
自分の習得状況に応じた講義を受けて下さい。

補足

私も受講したくて受けてるわけじゃなく強制なんです...
とりあえずいろいろ参考にするしかないですよね..

回答No.7

info22

#6です。
#6の補足の質問についての回答

>行列は習ったことありません。
>ただこの証明を分かりやすく説明してレポートにしてこい、とだけ言われた
>ので困っています。
>なのでせっかくヒントをくださっても全くわからないので解いて頂きたい
>のですが.....

教えてもいない課題を与えて、レポートを出させる教師も教師です。
習ってもいない、独力でも理解不能な課題なら、提出を断念した方が良いでしょう。
他人に作ってもらった解答を丸写ししてレポートとして提出するのは
学生さんのすることではありません。
（レポートの丸投げと丸解答要求、そして丸解答することはこのサイトでの禁止事項にあたります。）

レポートを提出するのであれば、皆さんのヒントをもとにに、独習して、レポートの解答を自分で作成してください。
それができなければ、レポートの提出はあきらめるべきです。
クラスの大半がレポートが提出できなければ、レポートを課した先生が、行列や行列式を授業で教えてくれるでしょう。皆が誰かに作ってもらった解答でレポートを提出すれば、先生がそこの部分は分かっているとして、さらに難しい授業内容にすすんでしまう可能性がありますので、大半の学生が習っていないことはちゃんと授業で教えて下さいと主張すべきで、教えてもらっていない内容の課題は習っていないので授業で教えてからレポートに課すようにして下さいと要求すべきです。

習っていないので教えて下さい。と質問できるのも授業料を払って授業を受ける学生の権利です。

どうしても出したいなら、
レポートに「授業で教えて頂いた範囲からレポートの課題を出してください。今回の課題は習っていないし、まだ教えてもらっていない内容の課題なので解答が作れません。」と書いてでも提出された方が良いかも知れません。
（常識のある先生なら、教えた範囲の中からレポート課題をだされると思いますね。）

補足

すいません。
数学の授業ではないので教えてもらうのは無理ですね..
教養演習なのでレポートをだして発表するのが目的なので..
大学の授業は難しいです。

回答No.6

info22

> あの..|AB|＝|A||B|の意味がわからない
行列や行列式では何を習ったのですか？
行列や行列式の最も最初に学習する基礎的なことなのでもう一度
行列や行列式の関係を教科書や参考書で復習しなおした法がいいですね。

ヒント）
行列Aの行列式を|A|、行列Bの行列式を|B|と書き、
「行列Aと行列Bの積AB」の行列式を|AB|と書きます。
後は#3さんの回答にあるように
行列Aと行列Bをおいて、
行列の積ABを計算し、その行列式|AB|を計算し
Aの行列式|A|と
Bの行列式|B}の積|A|*|B|を計算し
それらが等しいことを示せばが証明完了ですね。

泥臭いですが、計算間違いをしないように地道にこつこつ計算するだけ。
頑張って計算して下さい。

他の方が言われているように行列と行列式の所を最初から復習された方が良いですね。

補足

行列は習ったことありません。
ただこの証明を分かりやすく説明してレポートにしてこい、とだけ言われたので困っています。
なのでせっかくヒントをくださっても全くわからないので解いて頂きたいのですが.....

回答No.5

arrysthmia

＞ あの..|AB|＝|A||B|の意味がわからないので

証明ができる・できない以前に、
証明を求められている式が何を言っているのか理解できないのなら、
貴方は、まだ、その証明問題と関わり合うのは早すぎます。
とりあえず、線型代数のなるべく薄い本を手にとって、読むでもなく
パラパラ目を通しましょう。まずは、|A| が何の記号だか知ること。
全ては、それからです。

回答No.4

koko_u_u

きっと問題が理解できていないのですね。

行列式は「行列全体の集合 M」から「実数の集合 R」への写像

f : M -> R ( A -> |A| )

を与えるわけですが、何とびっくり、この写像は「乗法と可換」なんですね。

f(AB)= f(A)f(B) [ AB は行列の乗法で、f(A)f(B) は実数の乗法 ]

はたして、そのような「良い」性質をもつ写像 f は他にあるのでしょうか？
補足にどうぞ。

補足

f : M -> R ( A -> |A| )
これはどゆう意味ですか？

f(AB)= f(A)f(B) [ AB は行列の乗法で、f(A)f(B) は実数の乗法 ]
あとこれもゆう意味ですか？

馬鹿なので全然わかりません...
何回もごめんなさい..

回答No.3

arrysthmia

A =
( a b c )
( d e f )
( g h i )

B =
( j k l )
( m n o )
( p q r )

と置いて、
ど根性で |AB| と |A||B| を求め、比較する
…のは、ちょっとつらい。

立体図形を x → Ax で写像すると、体積が |A| 倍
になることは、使えない？

お礼

ありがとうございます。
あの..|AB|＝|A||B|の意味がわからないのでよかったら教えてください。

回答No.2

Tacosan

「計算できない」ってどういうことなんだろう.
3×3 行列のかけ算ができないの?
3次の行列式が求められないの?

補足

うーん...
何とお答したらいいものか..
とりあえず証明ができないんです..
すいません..