行列式（入門）の証明

質問

問．Aをn次正方行列とする。
　　零ベクトルでないn項列ベクトルbによって、
　　Ab=b が成り立っていれば |A|=0 であることを
　　証明せよ。

線形代数について学習し始めたばかりで、考え方や証明の仕方
に慣れていません。
Ab=b ということは、行列Aが単位行列であることと関係があるのでしょうか。
いろいろ教えていただけると助かります。お願いします。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

ん?
Ab = b からいえるのは「b が A の固有値1 に対する固有ベクトル」ってことだけだから, 行列式がどうなるかは誰にもわからないんじゃない?
実は Ab = 0 とかいうオチ?

お礼

すみません。
もう一度テキストを見直したところ
Ab＝b ではなくAb=0 の訂正表がありました。

お騒がせしました。ごめんなさい。
もう一度、解答を考えてみます。

回答No.3

ONB

行列Aが単位行列ならAb=bがどんなbについても成り立ちますが、
ひとつの0でないbについてAb=bが成り立つからと言ってAが単位行列とは限りません。
この条件だけからは|A|はどんな値になる可能性もあります。

この問題の場合はミスプリで本来はAb=bではなくAb=0 でしょう。
問題の解答は都合により省略します。

お礼

すみません。
もう一度テキストを見直したところ
Ab＝b ではなくAb=0 の訂正表がありました。

お騒がせしました。ごめんなさい。
もう一度、解答を考えてみます。

回答No.2

Willyt

これは問題にミスプリがあるのでは？　言われるように与式が成り立つにはＡが単位行列でなければなりませんから｜Ａ｜＝１になります。

お礼

すみません。
もう一度テキストを見直したところ
Ab＝b ではなくAb=0 の訂正表がありました。

お騒がせしました。ごめんなさい。
もう一度、解答を考えてみます。