【数学の得意な方へ！】幾何の問題でわからないところがあります＞＜

質問

△ABCの辺BC,CA,ABを2：3に内分する点をそれぞれD,E,Fとするとき、△ABCと△DEFの重心は一致する事を示せ。

という問題です。
解き方が判らないので、教えていただきたいです＞＜

ちなみに、ベクトルなどは一切使用しない方法でお願いします＞＜

回答No.5

htms42

＃２です。
＃２ではベクトルでやりました。
解き方から分かることですが
２：３という比率は関係がありません。辺ＡＢ，ＢＣ，ＣＡを同じ比率で内分していれば任意の比率ａ：ｂで成り立ちます。

幾何的にやってみます。

重心は３つの中線の交点です。
△ＡＢＧ＝△ＢＣＧ＝△ＣＡＧ　（＝(1/3)△ＡＢＣ）
が成り立ちます。
あちこちに面積の等しい三角形がたくさん出てきます。
それを使って
△ＤＥＧ＝△ＥＦＧ＝△ＦＤＧ　（＝(1/3)△ＤＥＦ）
を導くことが出来ればＧは△ＤＥＦの重心であるということが明らかになります。

△ＡＦＥ＝△ＢＤＥ＝△ＣＥＤ　（＝(6/25)△ＡＢＣ）　　（１）

△ＡＦＧ＝△ＢＤＧ＝△ＣＥＧ　（＝(2/15)△ＡＢＣ）　　（２）
△ＡＥＧ＝△ＢＦＧ＝△ＣＤＧ　（＝(3/15)△ＡＢＣ）　　（３）

（２）（３）より
四辺形ＡＦＧＥ＝四辺形ＢＤＧＦ＝四辺形ＣＥＧＤ　（＝(1/3)△ＡＢＣ）　（４）

（１）（４）より
△ＤＥＧ＝△ＥＦＧ＝△ＦＤＧ　　（＝(7/75)△ＡＢＣ）　　（５）

これよりＧは△ＤＥＦの重心であることが分かります。

（１）（２）（３）（５）の（　）のなかの数字は比率がａ；ｂの時は
（１）　ａｂ/(ａ＋ｂ)^2
（２）(1/3)ａ/(ａ＋ｂ)
（３）(1/3)ｂ/(ａ＋ｂ)
（５）１／３－ａｂ/(ａ＋ｂ)^2
になります。

この数字は証明には必ずしも必要ではありません。
（１）（２）（３）の面積が等しいという関係だけが分かればいいのです。

回答No.4

mister_moonlight

いつもの書き込みミス。ｗ

（誤）内分点の公式から、Ｄ{（9b+6c）/5、9a/5}、Ｅ（9c/5、9a/5）、Ｆ（6b/5、6a/5）であるから、

（正）内分点の公式から、Ｄ{（9b+6c）/5、0}、Ｅ（9c/5、9a/5）、Ｆ（6b/5、6a/5）であるから、

回答No.3

mister_moonlight

ベクトルが駄目なら、座標はどうだろう？

内分点と外分点の公式を使うと簡単。

http://blog.livedoor.jp/cfv21/math/divoncrdpl.htm

xy平面上で、Ａ（0、3a）、Ｂ（3b、0）、Ｃ（3c、0）、a＞0、b＜0、c＞0とする。
△ＡＢＣの重心は簡単で（b＋c、a）‥‥(1)
内分点の公式から、Ｄ{（9b+6c）/5、9a/5}、Ｅ（9c/5、9a/5）、Ｆ（6b/5、6a/5）であるから、その重心の座標を（α、β）とすると、重心の公式から、α＝b＋c、β＝a となり、(1)と一致する。

　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｑ、Ｅ、Ｄ）

回答No.2

htms42

ベクトルで解くのが簡単ですので一応

基準の点Ｏを考えます。
Ｏを基準として位置Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇを表すベクトルを
ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ，ｇとします。
ｄ＝(３ｂ＋２ｃ)/５
ｅ＝(３ｃ＋２ａ)/５
ｆ＝(３ａ＋２ｂ)/５

△ＡＢＣの重心ベクトルは
ｇ＝(ａ＋ｂ＋ｃ)/３
△ＤＥＦの重心ベクトル
(ｄ＋ｅ＋ｆ)/３
を求めると(ａ＋ｂ＋ｃ)/３になりますから２つの三角形の重心は一致することがわかります。

幾何的にやるのはこれよりも難しそうです。

回答No.1

rnakamra

三角形の重心の特徴。
△ABCにおいて、BCの中点をL,CAの中点をM,ABの中点をNとすると線分AL,BM,CNは一点Gで交わりその点が重心である。
このとき、AG:GL=BG:GM=CG:GN=2:1である。

まず、このことは理解していないと解けません。
(この証明は中学の数学の教科書に載っていると思います。)

それでは、ヒントとして、GからBC,CA,ABに平行な線を引いてみましょう。
するとその線とAB,BC,CAとの交点はどのような点になるか。
反対側のCA,AB,BCとの交点はどのような点になるか。
これらと平行線の性質を利用すれば中学生のレベルで回答可能です。