三角形の面積の問題

質問

三辺の長さがBC=a,CA=b,AB=cの三角形がある。
ABをa:bに内分する点をD,BCをb:cに内分する点をE,CAをc:aに内分する点をFとする。
このとき、△ABCと△DEFの面積比を求めよ。
ただしa≦b≦cかつa^2+b^2>c^2である。

答えはABC:DEF=2abc:(a+b)(b+c)(c+a)らしいのですが
その導き方が全くわかりません。
どなたか教えてください。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

△FAD=△FAB*AD/AB=△FAB*a/(a+b)
=△ABC*(AF/AC)*a/(a+b)=△ABC*{a/(a+c)}*{a/(a+b)}
=S*(a^2)/{(a+b)(a+c)} (S=△ABCの面積)
同様に
△DBE=S*{b/(b+c)}{b/(a+b)}=S*(b^2)/{(a+b)(b+c)}
△ECF=S*{c/(a+c)}{c/(b+c)}=S*(c^2)/{(a+c)(b+c)}
△DEF=△ABC-(△FAD+△DBE+△ECF)
=S-S{(a^2)(b+c)+(b^2)(c+a)+(c^2)(a+b)}/{(a+b)(b+c)(c+a)}
={(a+b)(b+c)(c+a)-(a^2)(b+c)-(b^2)(c+a)-(c^2)(a+b)}S/{(a+b)(b+c)(c+a)}
=2abcS/{(a+b)(b+c)(c+a)}
∴△DEF:△ABC=2abc:(a+b)(b+c)(c+a) (∵S=△ABC)

>答えは△ABC:△DEF=2abc:(a+b)(b+c)(c+a)らしいのですが
比が逆なので間違いです。

お礼

図つきのわかりやすい解説ありがとうございます。
ABCをもとに辺の比を利用して求めればいいのですね。

回答No.5

gohtraw

＃１です。計算間違い。
△ＦＡＤと△ＡＢＣを比べると
ＡＤ＝ＡＢ＊ａ／（ａ＋ｂ）
ＦＡ＝ＡＣ＊ａ／（ｃ＋ａ）
なので前者の面積は後者の面積の
ａ＾２／（ａ＋ｂ）／（ｃ＋ａ）倍
ですね。

お礼

わかりました。
解説ありがとうございました。

回答No.3

LightOKOK

△ADF=△ABC×a/(a+b)×a/(a+c)=△ABC×a^2/(a+b)(c+a)
△BED=△ABC×b/(b+c)×b/(a+b)=△ABC×b^2/(a+b)(b+c)
△ECF=△ABC×c/(b+c)×c/(a+c)=△ABC×c^2/(b+c)(c+a)

△ADF=△ABC{1-△ADF-△BED-△ECF}
△ADF/△ABC
={(a+b)(b+c)(c+a)-(b+c)a^2-(c+a)b^2-(a+b)c^2}/(a+b)(b+c)(c+a)
=2abc/(a+b)(b+c)(c+a)

>答えはABC:DEF=2abc:(a+b)(b+c)(c+a)らしいのですが
比が逆では？

お礼

皆さんの言うように比を逆に書いてしまいました。
指摘と回答ありがとうございます。

回答No.2

ye11ow

＞答えはABC:DEF=2abc:(a+b)(b+c)(c+a)らしいのですが

これにちょっと、a,b,c=3,4,5を代入してみてください（直角三角計ですが）。
△ABC(=2*3*4*5=120)＜△DEF(=7*8*9=504)になってしまい、
当然△ABCのほうが大きいはずですので、これはおかしいですよね？
（ちなみに「a≦b≦cかつa^2+b^2>c^2」なので、a,b,c=3,4,5は実際ダメですが、
c=4.99999（5より僅か小さい数）ならばよく、このことで大小関係は不変です）
正解は、反対になった「ABC:DEF=(a+b)(b+c)(c+a):2abc」だと思います。

さて、△ABC=(1/2)*b*c*sinA と正弦定理を使ってアプローチしてみます。

ごく普通に、△ABCから△DEFを引いた余りの部分の
「３つの三角形の面積」を、順に出していきます。
例えば、辺の長さを比によって分けた、AD=c*{a/(a+b)}などを用いて、
△ADF=(1/2)*{ac/(a+c)}*{bc(b+c)}*sinA のように式を立ててみます。

これに、a/sinA=2Rのような正弦定理を使えば、
=(abc/4R){a^2/(a+b)(a+c)}
(実際に計算してみてください)
そうやって「３つの三角形の面積の和」の式を出します（煩雑なので省略）。

次に、△ABC = (1/2)*b*c*sinA = abc/4R　ですので、
出た式をこれから引きますと、
△DEF=(abc/4R){2abc/(a+b)(b+c)(c+a)} となるはずです。
そうして、△ABC:△DEF=1:2abc/(a+b)(b+c)(c+a)となります。

(1)例えば正弦定理などを用い、式を整理された形で立てる
(2)間違わず、煩雑な式を地道に計算していく（頑張ってください！）

この辺がポイントだと思います。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.1

gohtraw

例えば△ＦＡＤと△ＡＢＣを比べると
ＡＤ＝ＡＢ＊ａ＾２／（ａ＋ｂ）
ＦＡ＝ＡＣ＊ｃａ／（ｃ＋ａ）
なので前者の面積は後者の面積の
ｃａ＾３／（ａ＋ｂ）／（ｃ＋ａ）倍
になります。同様に△ＥＢＤと△ＣＦＥの面積も表わすことができるので△ＡＢＣから引いてやれば△ＤＥＦの面積を△ＡＢＣとの比で表わすことができると思います。

お礼

回答ありがとうございます。