どうしても解けませんッ。

質問

解と係数の関係を用いて解く問題があるのですが、
どうしても解けませんっ。
α＋β＝１
αβ＝１
までは出来ています。

α（45乗）＋β（45乗）
は、どうやって分解して考えればよいのでしょうか。

困っています（＞□＜）
分かる方がいらしたらお願いします。

回答No.4

ichiro-hot

●＃１さんの解がスマートだなぁ！
●因数分解によると、

α＾45＋β^45＝（α＾15＋β＾15）・｛α＾30－α＾15・β＾15＋β＾30｝
＝（α＾15＋β＾15）・｛（α＾15＋β＾15）^2－3α＾15・β＾15｝

α＾15＋β＾15＝（α＾5＋β＾5）・｛α＾10－α＾5・β＾5＋β＾10｝
＝（α＾5＋β＾5）・｛（α＾5＋β＾5）^2－3α＾5・β＾5｝

α＾5＋β＾5＝（α＋β）・｛α＾4－α＾3・β＋α＾2・β＾2－α・β＾3＋β＾4｝

ここでα＋β＝１，αβ＝１を代入すると
　α＾5＋β＾5＝１・｛α＾4－α＾2＋１－β＾2＋β＾4｝
　　　　　　　　＝｛（α＾4＋β＾4）－（α＾2＋β＾2）＋１｝
また，
　α＾2＋β＾2＝｛（α＋β）^2－2αβ｝＝－１
　α＾4＋β＾4＝｛（α^2＋β^2）^2－2α＾2β^2｝＝（－１）＾2－2＝－1
だから，
　α＾5＋β＾5＝１・｛（α＾4＋β＾4）－（α＾2＋β＾2）＋１｝＝１
　α＾15＋β＾15＝（α＾5＋β＾5）・｛（α＾5＋β＾5）^2－3α＾5・β＾5｝
　　　　　　　　　　＝１・（１－３）＝－２
　α＾45＋β^45＝（α＾15＋β＾15）・｛（α＾15＋β＾15）^2－3α＾15・β＾15｝
　　　　　　　　　＝－２・｛（－2）^2－3｝＝－2
　となって、α＾45＋β^45＝－2　が得られる。
　やはり面倒ですね。

回答No.3

kobold

α＋β＝１,αβ＝１からα^2+β^2は求められますよね。
そうすると、α^4+β^4も分かるでしょう。
さらに、α^8+β^8、α^16+β^16、α^32＋β^32も。
少し変形すれば、32と8からα^40+β^40が作れます
α^45+β^45までもう少し頑張って下さい
面倒ですが、計算はそれほど大変ではないはずです。

回答No.2

koko_u_u

α、βは -1 の三乗根です。おわり。

回答No.1

fukuda-h

分解するのではなく解の性質を使う問題です
α＋β＝１
αβ＝１
ですからα、βは２次方程式
t^2-t+1=0の解ですね。
したがってt+1をかけてt^3+1=0つまりt^3=-1
α,βはこの方程式の解ですからα^3=-1,β^3=-1を満たしますね
α＾45＝(α^3)^15=-1
βも同じです