z^3=1+√3i を求める問題です。

質問

z^3=1+√3i を求める問題です。
解と係数の関係からα+β+γ=0, αβ+βγ+γα=0, αβγ=1+√3i として連立方程式を立てましたが、上手くいきません。
どのようにして求めるのでしょうか？アドバイスいただければと思います。宜しくお願い致します。

回答No.4

noname#116057 · ベストアンサー

z＝x＋yiとおくと，
z^3＝x^3＋3x^2・yi＋3xy^2・i^2＋y^3・i^3
＝x^3＋3x^2・yi－3xy^2－y^3・i
＝x^3－3xy^2＋(3x^2・y－y^3)i＝1＋√3i
となるので両辺の係数を比較して解く。

お礼

TheDick1981様ありがとうございます。両辺の係数を比較して解く方法に気付きませんでした・・・

回答No.3

info22_

z^3=1+√3i =2e^(iπ/3+i2nπ)
z={2^(1/3)}e^{iπ/9+i2nπ/3}
ここでn=0,±1

z1={2^(1/3)}e^(iπ/9)={2^(1/3)}{cos(π/3)+i sin(π/3)}
z2={2^(1/3)}e^(i7π/9)={2^(1/3)}{-cos(2π/9)+i sin(2π/9)}
z3={2^(1/3)}e^(-i5π/9)={2^(1/3)}{-cos(4π/9)-i sin(4π/9)}

お礼

info22_様ありがとうございます。アドバイスいただいたような方法に気付きませんでした・・・
ただ、z1={2^(1/3)}e^(iπ/9)={2^(1/3)}{cos(π/3)+i sin(π/3)}は
z1={2^(1/3)}e^(iπ/9)={2^(1/3)}{cos(π/9)+i sin(π/9)}になりますね

回答No.2

haragyatei

オイラーの関係を利用するのが簡単だと思います。

e^iθ=cosθ+jsinθ

なので1+√3i は2*e^i(60度±360度*n)

となります。したがってzは

2^1/3*e^i(20度±120度*n)

となります。たぶん他の方法では大変です。

お礼

haragyatei様ありがとうございます。e^iθ=cosθ+isinθ を用いる方法に気付きませんでした。

回答No.1

ninoue

右辺を極表示に変換して解かれたら良いのではと思います。

z^3 = 1+√3i = r*exp(i(θ+2πj)); r=2, θ=...
z = √r * exp(i(θ/3 +2πj/3)); j=0,1,2

お礼

ninoue様ありがとうございます。アドバイスいただいたような方法に気付きませんでした・・・