不等式の性質

質問

２つ質問があります
(1)
α＞1　β＞１　⇒　αβ＞１
が正しいか
α－１＞０　β－１＞０　⇒　αβ－(α＋β)＋１＞０
どちらが正しいのでしょうか？また根拠を教えてください。
(2)
解と係数の関係で、なぜαとβが異符号の解を持ち、αβ＜０がいえるとき、かならず、二つの解を持つと決めることができるのか？(判別式を使わなくても良いのか)

回答No.5

waseda2003

＃３です。「補足」に対してお答えします。

数式的解法と図形的解法の使い分けは，特にはありません。
手短にまとめたいなら数式処理，数式だけではわかりにくい
ときは図形的処理という具合に，状況に応じて判断すれば
よいと思います。

ここでいう「図形的処理」とは，αβ平面上に方程式・不等式の
表す図形を図示して考えることを指しています。
もし，α，βが２次方程式f(x)=0の２解ならば，y=f(x)のグラフが
x軸と共有点をもち，共有点がすべてx>1の範囲にある条件
を求める解法を用いることもできます。

場当たり的に個別の事象を考えるというのでは効率が悪い
ので，本腰を入れて勉強しようというのであれば，基本解法
とか典型パターンと呼ばれるものをまず覚えることが大事
なのではないでしょうか。

補足

返信ありがとうございました。
そういうことではなくて・・・・

α＞1　β＞１　⇒　αβ＞１
α－１＞０　β－１＞０　⇒　αβ－(α＋β)＋１＞０
が両方正しいというのならば、この２つはどのように使い分けしたらよいのですか？

回答No.4

waseda2003

(1)
> α＞1 かつ β＞１　⇒　αβ＞１
> α－１＞０ かつ β－１＞０　⇒　αβ－(α＋β)＋１＞０
はどちらも正しいです。前半は
　　αβ-1 = α(β-1)+α-1 >0
後半は，符号についての性質から
　　α-1>0 かつ β-1>0 ⇒ (α-1)(β-1)>0
が成り立ちます。

注意しなければならないのは，
　　いずれも同値（必要十分条件）ではない
ということです。
数学では，同値変形で考察しなければ意味がありません
ので，条件などを求める過程では，
　　α>1 かつ β>1 ⇔ (α-1)+(β-1)>0 かつ (α-1)(β-1)>0
とする（か，または図を利用する）のがふつうです。

（「どちらが正しいのか」という質問を「どのように
扱うのが適切か」と受け取りました。）

(2)
判別式による実数解条件の確認は絶対必要です。
というのは，α，βが実数でなければ異符号の議論は
意味を持たないからです。

グラフで考えたときは，下に凸のグラフがx軸より下の
点(0，f(0))を通ることにより，x軸と共有点をもつ条件を
おさえているので，きちんと確認していることになります。

「異符号のときは判別式は要らない」とでたらめ書いて
ある参考書・問題集も多いので，注意して下さい。

補足

返信ありがとうございました。
すいませんが、
(1)なんですけど
＞注意しなければならないのは，いずれも同値（必要　十分条件）ではないということです。
　数学では，同値変形で考察しなければ意味がありま　せんので，条件などを求める過程では，
　α>1 かつ β>1 ⇔ (α-1)+(β-1)>0 かつ (α-1)(β-1)　>0 とする（か，または図を利用する）のがふつうで　す。

図でとはどういうことですか？
いまいち使い分け方がわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.3

springside

直接の回答ではないのですが、いわゆる「二次方程式の解の配置」の問題（例：２実数解をα,βとするとき、α>1,β>1となる条件を求めよ、という感じの問題）を考えているのであれば、以下の私の回答が参考になります。

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=837049　のNo.6の回答
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1007360　のNo.2の回答

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=837049

回答No.2

masa072

(1)
数学的にはどちらも正解です。
上は、αβ>α×1>1×1=1となります。
下は、「正数と正数の積は正数」というところから言えます。
厳密には背理法を用います。
今、(α-1)(β-1)<0とする。このとき、「(α-1)<0かつ(β-1)>0」または「(α-1)>0かつ(β-1)<0」が成り立たなければならない。よって、仮定に反する。q.e.d

普通は上をもちいますね。

(2)
αとβが異符号であれば必ずαβ<0となります。
今、ax^2-bx+c=0の解がα,βとします（a＞0）。
すると、解と係数の関係より、c/a=αβとなります。
c/a=αβ<0であればc<0なので、与式は下に凸なので、グラフは必ずy=0と2交点を持ちます。
上に凸の場合（a＜0）も同じです。
c/a=αβ<0、a<0よりc>0．よって与式は上に凸で値が正になる場合があるので、グラフは必ずy=0と2交点を持ちます。

お礼

みなさん返信ありがとうございました。
(2)がとてもわかりやすかったです。
ありがとうございました。

回答No.1

proto

(1)について
x>0,y>0⇒xy>0を認めれば

　　α>1 より α-1>0
　　β>1 より β-1>0
よって
　　(α-1)(β-1)>0

　　αβ-1=(α-1)(β-1)+(α-1)+(β-1)>0
より
　　α>1,β>1
ならば
　　αβ>1
が示せます

つまり後の例を認めれば
前の例は後の例から導かれます

(2)について
αとβが異符号の解を持つ、の意味するところは

{αとβが異符号の解を持つ}
　　⇔{方程式は２つの異なる実数解を持つ}かつ
　　　　　{{α>0,β<0}または{α<0,β>0}}

ということでは無いでしょうか
また
{α>0,β<0}または{α<0,β>0}⇔{αβ<0}
がわかると思います