- 締切済み
不等式の性質
２つ質問があります (1) α＞1 β＞１ ⇒ αβ＞１ が正しいか α－１＞０ β－１＞０ ⇒ αβ－(α＋β)＋１＞０ どちらが正しいのでしょうか？また根拠を教えてください。 (2) 解と係数の関係で、なぜαとβが異符号の解を持ち、αβ＜０がいえるとき、かならず、二つの解を持つと決めることができるのか？(判別式を使わなくても良いのか)
- benefactor_geniu
- お礼率26% (133/494)
- 数学・算数
- 回答数5
- ありがとう数2
- みんなの回答 （5）
- 専門家の回答
みんなの回答
- waseda2003
- ベストアンサー率50% (110/216)
- waseda2003
- ベストアンサー率50% (110/216)
(1) > α＞1 かつ β＞１ ⇒ αβ＞１ > α－１＞０ かつ β－１＞０ ⇒ αβ－(α＋β)＋１＞０ はどちらも正しいです。前半は αβ-1 = α(β-1)+α-1 >0 後半は，符号についての性質から α-1>0 かつ β-1>0 ⇒ (α-1)(β-1)>0 が成り立ちます。 注意しなければならないのは， いずれも同値（必要十分条件）ではない ということです。 数学では，同値変形で考察しなければ意味がありません ので，条件などを求める過程では， α>1 かつ β>1 ⇔ (α-1)+(β-1)>0 かつ (α-1)(β-1)>0 とする（か，または図を利用する）のがふつうです。 （「どちらが正しいのか」という質問を「どのように 扱うのが適切か」と受け取りました。） (2) 判別式による実数解条件の確認は絶対必要です。 というのは，α，βが実数でなければ異符号の議論は 意味を持たないからです。 グラフで考えたときは，下に凸のグラフがx軸より下の 点(0，f(0))を通ることにより，x軸と共有点をもつ条件を おさえているので，きちんと確認していることになります。 「異符号のときは判別式は要らない」とでたらめ書いて ある参考書・問題集も多いので，注意して下さい。
補足
返信ありがとうございました。 すいませんが、 (1)なんですけど ＞注意しなければならないのは，いずれも同値（必要 十分条件）ではないということです。 数学では，同値変形で考察しなければ意味がありま せんので，条件などを求める過程では， α>1 かつ β>1 ⇔ (α-1)+(β-1)>0 かつ (α-1)(β-1) >0 とする（か，または図を利用する）のがふつうで す。 図でとはどういうことですか？ いまいち使い分け方がわかりません。 よろしくお願いします。
- springside
- ベストアンサー率41% (177/422)
- masa072
- ベストアンサー率37% (197/530)
(1) 数学的にはどちらも正解です。 上は、αβ>α×1>1×1=1となります。 下は、「正数と正数の積は正数」というところから言えます。 厳密には背理法を用います。 今、(α-1)(β-1)<0とする。このとき、「(α-1)<0かつ(β-1)>0」または「(α-1)>0かつ(β-1)<0」が成り立たなければならない。よって、仮定に反する。q.e.d 普通は上をもちいますね。 (2) αとβが異符号であれば必ずαβ<0となります。 今、ax^2-bx+c=0の解がα,βとします（a＞0）。 すると、解と係数の関係より、c/a=αβとなります。 c/a=αβ<0であればc<0なので、与式は下に凸なので、グラフは必ずy=0と2交点を持ちます。 上に凸の場合（a＜0）も同じです。 c/a=αβ<0、a<0よりc>0．よって与式は上に凸で値が正になる場合があるので、グラフは必ずy=0と2交点を持ちます。
お礼
みなさん返信ありがとうございました。 (2)がとてもわかりやすかったです。 ありがとうございました。
- proto
- ベストアンサー率47% (366/775)
補足
返信ありがとうございました。 そういうことではなくて・・・・ α＞1 β＞１ ⇒ αβ＞１ α－１＞０ β－１＞０ ⇒ αβ－(α＋β)＋１＞０ が両方正しいというのならば、この２つはどのように使い分けしたらよいのですか？