円周率の２乗

質問

恣意的でなく物理的に意味のある計算で、円周率の２乗が出てくるものがありましたら、教えていただけないでしょうか？

もちろん直径πの円周長さはπ^2ですが、そういう恣意的な話でなく、この長さをｒとおく、この一片をaとしたときの何とかの値、とかで最後の式にπ^2が含まれているもの、という意味です。

実は、四分円２つを単純に組み合わせた曲線の回転体という、お皿というか、壺っぽいもの体積を四分円半径ｒとおいて計算すると最後の式にπ^2が出てきて、ちょっと困惑しているところです。
この構造のどこかに、求めるべき円周長さの直径がπになるような意味合いがあるってことなのかなとも思うのですが、感覚的にすすっと入ってこなくてなんとなく困ってます。

回答No.4

ryn · ベストアンサー

> じゃぁなんで一番簡潔な球の体積にπ^2が出てこないのかな、というところが疑問。
確かに感覚的には出てきてほしい気はしますね．

実際にn次元超球の体積を見てみると
　nが奇数であれば，V_n = 2(2π)^((n-1)/2)/n!! * r^n
　nが偶数であれば，V_n = (2π)^(n/2)/n!! * r^n
のようになっています．

具体的には
　V_1 = 2r
　V_2 = πr^2
　V_3 = (4/3)πr^3
　V_4 = (1/2)π^2 r^4
　V_5 = (8/15)π^2 r^5
　V_6 = (1/6)π^3 r^6
のように4次元でπ^2，6次元でπ^3という感じで
次元が2上がるごとにπの冪が1増えていきます．

回答No.3

catshoes01

基本的な考え方としてはπ^2の意味を幾何的に説明することは無理なのではと思います。虚数としてのｉの意味を探るようなものに近いと思います。で、先のオイラーの座屈式は、細長い円柱が軸方向にどのくらいの力を加えたら撓むかという意味の数式です。オイラーはこの過程でこの力は材料の物性値としては縦弾性係数と形状数値だけが意味を持ち、材料の強度自体は無関係であること、円柱の横方向に作用する力にも無関係であることを示したのです。凄い洞察と思います。尚、このあたりの式の説明は下記ＵＲＬ（ｐｄｆ）にあります。π＾２は数学的処理の結果として現れただけです。（Sin(n*π)=0の性質を式中に組み込んでいます）
http://techon.nikkeibp.co.jp/free/nmc/dokusha/zai/zai560.pdf

お礼

ありがとうございます。
ただ、物理的に意味がある数式なのだから、「数学的処理の結果として現れただけ」なんてことはないと思いますよ。No.1さんの例にある問題は当初数学的な遊びの式だったようなので意味を見いだすのは難しいと思います。

私は複素数も普通になじんでます。
でも、構造力学は出てくる用語がことごとくわからず、入門の１に戻ってもついて行けなさそうだったので座屈の式の意味がまったく...

回答No.2

catshoes01

お考えの趣旨とは合致しないかもしれませんが
工学的にオイラーの座屈方程式にπ^2が表示されます。この式は純粋な理論式です。解を求める過程で数学的操作でπ^2が現れただけですが。参考URLを提示します。ここの問題を良く調べるとオイラーの座屈式の数学的な求め方が記載されています。
http://techon.nikkeibp.co.jp/free/nmc/dokusha/zai/zai561kiji.html

お礼

構造力学を習ってないので何の話かさっぱりわからないのですが、たしかに意味のありそうな式にπ^2がありますね。
これまで見てきた数式でπ^2を見たことがなかったのですが、まぁそういうのも出てくることがあるらしいということはわかりました。
ありがとうございます。
こんど暇なときに何でπ^2が出てくるのか読み解いてみようかとも思いますが、もし余裕があったらπが２回出てくるポイントを概説していただけないでしょうか？「丸いものを回すから」というようなご説明で結構です。

回答No.1

kobold

回転体の体積だとよくπ^2が出てきます
円周率としてのπの場合もありますし、
三角関数などとの関係からどこかの長さがπの場合もあります

物理的に意味があると言われると難しいですが、
例えばバーゼル問題と言われる、
lim[n→∞]1/1^2+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2=π^2/6
などにはπ^2が出てきます

お礼

バーゼル問題、知りませんでした。
たしかに物理的意味を見いだしにくいし、級数の元が平方数なので、結果のπに２乗がついていても、まぁそういうこともあるかなと思えてしまいますが、ともかく数学の有名どころでπ^2があるってのは勉強になりました。ありがとうございます。

で、むしろ回転体にはπ^2がよくでてくる、という話が今回は気になります。半径ｒの円弧の回転体なら、円弧というところでπが出てきて、回転体というところでもう一回πが出てきて、結果π^2が出てくるというのもわからなくはないです。ですが、じゃぁなんで一番簡潔な球の体積にπ^2が出てこないのかな、というところが疑問。
回転体体積にπ^2がでるときとでないときの差は何でしょう？