円周率の定義

質問

円周率の定義について、半径が1の円（単位円）においては、単位円を表す式は x^2 + y^2 = 1 であるから、
π=∫[-1→1]{1/√(1-X^2)}dx
とありました。
半円の円周を求めているのはわかるのですが、1/√(1-X^2)がどのようにして導かれるのか理解できないでおります。
どなたかアドバイスいただければと思います。

回答No.4

naniwacchi

こんにちわ。

少し以前に、この内容を包含した質問がありました。
http://okwave.jp/qa/q6484800.html

曲線の長さを求めるとき、微小な曲線の一部である線素：dLを求めると、
dL＝ √{ 1+ (dy/dx)^2 } dx

となります。
dy/dxは円の方程式：x^2+ y^2＝ 1の両辺を微分して、dy/dx＝ -x/yとなるので、
dL
＝ √{ 1+ (x/y)^2 } dx
＝ √{ (x^2+ y^2)/y^2 } dx
＝ 1/√(1- x^2) dx　（∵x^2+ y^2＝ 1, 上半円を考えているので y＞ 0）

となることがわかります。

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q6484800.html

お礼

naniwacchi様ありがとうございました。お陰様で理解することができました。

回答No.3

noname#130496

#1さんの回答で媒介変数としてx∈[-1, 1]そのものを選べば(x, √(1-x^2))が1つの半円です。
f(x)=√(1-x^2)と表すと、半円の長さは∫[-1, 1] √(1+(f ' (x))^2) dxに等しいことを教科書で確認しましょう。
被積分関数があなたの書いた通りであることが分かるはずです。

お礼

extatic様ありがとうございました。お陰様で理解することができました。

回答No.2

ShowMeHow

円の式: y=2√(1-x^2)
円周は: ∫[x=-1→1]ydy
からdy =2 /2√(1-x^2)dx
となり（半径1の場合なので）円周率も
π=∫[-1→1]{1/√(1-X^2)}dx
となる。

お礼

ShowMeHow様アドバイスいただきまして、ありがとうございます。しかしながら、どうも理解できないでおります。
y=2√(1-x^2)は変形すると x^2+y^2/4=1, y≧0 ですから、円の式でなく半楕円の式ですし、dy=2/2√(1-x^2)dx も正しくないです。
仮にy=2√(1-x^2)で、dy=2/2√(1-x^2)dx ならば、∫[x=-1→1]ydy = ∫[x=-1→1]2√(1-x^2)・2/2√(1-x^2)dx = ∫[x=-1→1]2dx
となりますので、計算も合っていません。

補足

ShowMeHow様ありがとうございます。円周は：∫[x=-1→1]ydy　とあるのですが、ここが理解できないでおります。さらなるアドバイスをいただければありがたいです。宜しくお願い致します。

回答No.1

Tacosan

x^2+y^2 = 1 から x, y を媒介変数で表し, そこから弧長を (媒介変数を使った) 積分で表して最後に媒介変数を消す.

お礼

Tacosan様ありがとうございました。お陰様で、理解することができました。