i^i^i^i…の極限

質問

暇つぶしに、googleで、
i^i= 0.207879576
i^i^i=i^(i^i)=0.947158998 + 0.32076445 i
i^i^i^i=i^(i^(i^i)) = 0.0500922361 + 0.602116527 i
・
・
と計算をやってみて、それぞれの点を複素平面にプロットしていったところ、
複素平面上でぐるぐると回っていき、最終的に
i^i^i^i^i^i^…=i^(i^(i^(i^(i^(…)))))
は、ある一定値に近づいていきそうなことがわかりました。
だいたい、
i^i^i^i^i^i^…=0.4383+0.36059i
なのですが、この値を簡単な数式（e、π、√、logなど）
であらわすことは可能でしょうか？よろしくお願いします。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

面白そうだったので，やってみました．

複素数 u の複素数 c 乗は
(1)　　u^c = exp(c log(u))
が定義ですが，log(u) のところが多価関数です．
ここは主値をとることにして(質問の計算がそうなっています)，
今は u = i ですから log(i) = iπ/2 です．
n 回目の値を z_n とすると，漸化式が
(2)　　z{n+1} = i^(z_n) = exp{iπz_n/2}
です．
極限値を z と書くと，z は(2)で z_n=z_{n+1}=z とおいた
(3)　　z = exp{iπz/2}
を満たします．
(4)　　z = x + iy
として実数 x, y に対する連立方程式にしますと
(5)　　x = exp(-πy/2) cos(πx/2)
(6)　　y = exp(-πy/2) sin(πx/2)
になります．
(6)÷(5)で
(7)　　y = x tan(πx/2)
がわかりますから，x 単独の方程式
(8)　　x = exp{-(π/2) x tan(πx/2)} cos(πx/2)
になりますが，一見して解析解は求まりませんね．
Mathematica でも試しましたが，ダメでした．
というわけで rndwalker7 さんのご希望通りにはなりません．
数値計算で解くのは容易で
(7)　　x = 0.438283
(8)　　y = 0.360592
が数値解で，rndwalker7 さんの質問文の予想と同じものが得られます．

お礼

早速の回答ありがとうございます。
明快な解説で、納得できました。
複素数の世界って不思議ですね。

回答No.3

noname#101087

タイプミスを訂正。

-------------------------------
　f(z) = h^(iz)　　h = EXP(π/2)

回答No.2

noname#101087

これは、
　f(z) = h~(iz)　　h = EXP(π/2)
の不動点を求めるアルゴリズムになっているようですね。