ζ関数 に 虚数単位 （√-1） を代入したときの値を教えてください。

質問

ζ関数を解析接続して複素平面上に展開できることは理解できるのですが、いざ具体的な値を求めるなると茫然自失となってしまいます。
フーリエ級数を使うということはわかっても実践経験がないので、どう試行錯誤したらいいのか、困っています。
そこで、試しに計算し易いであろう、√-1　を代入したときの、ζ関数の値の求め方、および、その値を教えて頂けると、複素平面上に展開されたζ関数の有り様の一端がわかると思うのです。

どなたか教えて頂けると幸いです。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

数式処理ソフトのMapleで計算すると
ζ(i)=0.003300223685 - 0.4181554491 i
とでました。
また自明でないζ(s)の零点「(1/2)+i*t」のtを計算してくれるサイトがあります。tに適当な概略値を入れるとそれに最も近いゼロ点のtを求めてくれます。
http://keisan.casio.jp/has10/SpecExec.cgi

>複素平面上に展開されたζ関数の有り様
ゼータ関数の零点の分布ですね。
ゼロ点の計算法は
http://homepage3.nifty.com/y_sugi/pr/pr55.htm
計算結果をプロットした零点の分布図は
http://homepage3.nifty.com/y_sugi/pr/pr51.htm
にあります。

複素領域に拡張された定義は
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E4%BA%88%E6%83%B3
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%82%BC%E3%83%BC%E3%82%BF%E5%87%BD%E6%95%B0
にあります。

ゼータ関数はリーマン予想などの未解決な内容を含んでいて難解ですね。
http://math.artet.net/?eid=221654

お礼

お礼が遅れました。しばらくζ関数の勉強をしていました。
Ｍａｐｌｅでのデータありがとうございました。
その後、Wolfram Alfa （数式処理検索エンジン）でも試してみました。
また、一段と数学の深みを知ることが出来ました。

どうもありがとうございました。