算術幾何平均の展開式

質問

はじめまして。楕円関数論に興味を持って勉強しております。
ガウスが発見した算術幾何平均の展開式、

\frac{1}{M(1+x,1-x)} = 1 + frac{1}{2}^2 x^2 + frac{3}{8}^2 x^4 + ...

の導出法をご存知の方教えてください。または、載っている本を教えて下さい。
よろしくお願い致します。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．

前の回答は \frac の \ が抜けたり，\pi のはずが \pai になっていたり，
大分書き損なっていました．
最初はπと書いていたので，つい日本語変換に引きずられて \pai に
なってしまいました．
まあ，実害はありませんでしたが......

さて，
(1)　　M(1+x,1-x) = \frac{1}{1+t^2} M(1+t^2,1-t^2)
(2)　　x = \frac{2t}{1+t^2}
から出発するのでしたら(string さんのｋの代わりにｘと書いています)，
(3)　　\frac{1}{M(1+x,1-x)} = 1 + a_2 x^2 + a_4 x^4 + a_6 x^6 + ...
と書いておきます．
(1)の右辺の逆数にこれを適用して
(4)　　\frac{1+t^2}{M(1+t^2,1-t^2)}
　　　　= (1+t^2) (1 + a_2 t^2 + a_4 t^4 + a_6 t^6 + ...)
　　　　= 1 + t^2 + a_2 t^4 + a_2 t^6 + ...
が得られます．
一方，(3)に(2)の展開形
(5)　　x^2 = \frac{4t^2}{(1+t^2)^2}
　　　　　　= 4t^2 - 8t^4 + 12t^6 - 16t^8 + ...
　　　　　　= 4t^2 \sum_{j=1}^\infty (-1)^j j t^{2(j-1)}
を代入整理して
(6)　　\frac{1}{M(1+x,1-x)}
　　　　= 1 + 4a_2 t^2 + (-8a_2 + 16a_4)t^4 + (12a_2 - 64a_4 + 64a_6) t^6 + ...
になります．
(1)によって，(4)と(6)は等しいのですから，t^n の係数を等しいと置いて
(7)　　4a_2 = 1
(8)　　-8a_2 + 16a_4 = a_2
(9)　　12a_2 - 64a_4 + 64a_6 = a_2
から，順次
(10)　　a_2 = 1/4 = (1/2)^2
(11)　　a_4 = 9/64 = (\frac{1・3}{2・4})^2
(12)　　a_6 = 25/256 = (\frac{1・3・5}{2・4・6})^2
が得られます．
すなわち，
(13)　　\frac{1}{M(1+x,1-x)}
　　　　 = 1 + (\frac{1}{2})^2 x^2 + (\frac{1・3}{2・4})^2 x^4
　　　　　 + (\frac{1・3・5}{2・4・6})^2 x^6 + ...
(5)は展開の形が素直ですから，少し頑張れば(13)の一般項も出せそうです．

「知っていることを先に使って」いますが，
(13)はちょうど Gauss の超幾何関数
(14)　　F(α,β,γ;z)
　　　　= 1 + \frac{αβ}{1・γ}z
　　　　　+ \frac{α(α+1)β(β+1)}{1・2γ(γ+1)}z^2
　　　　　+ \frac{α(α+1)(α+2)β(β+1)(β+2)}{1・2・3γ(γ+1)(γ+2)}z^3 + ...
の，z = x^2 の場合になっています．
第１種完全楕円積分 K(k) は
(15)　　K(k) = (π/2)F(1/2,1/2,1;k) ですから，ここらへんは前の私の回答と
つながっています．

ここからあとは，「こうなりそう」です．
確かめていませんので，間違っていたら(うまく行かなかったら)ご容赦を．
(1)(2)は関数方程式になっていますから，
微分して 1/M(1+x,1-x) に対する微分方程式が導けそうです．
全部ｔで書いておくと，前の因子が 1+t^2 ですから，
ｔの２階微分で微分方程式が作れそうです．
1/M(1+x,1-x) = Q(x^2) = Q(z) とでも置くと(z=x^2)，
上の方で書いたこととのつながりから，
Q(z) の微分方程式は Gauss の超幾何微分方程式
(16)　　z(1-z)Q''(z) + {γ-(α+β+1)z}Q'(z) - αβz = 0
のα=β=1/2，γ=1 になるはずと思います．
(16)の解を級数展開で求めたものが(14)です．

回答No.3

siegmund

siegmund です．
またミスプリしちゃいました．
下記のように訂正します．

-------------

(5)　　x^2 = \frac{4t^2}{(1+t^2)^2}
　　　　　　= 4t^2 - 8t^4 + 12t^6 - 16t^8 + ...
　　　　　　= 4t^2 \sum_{j=1}^\infty (-1)^{j+1} j t^{2(j-1)}

-------------

(13)はちょうど Gauss の超幾何関数
(14)　　F(α,β,γ;z)
　　　　= 1 + \frac{αβ}{1・γ}z
　　　　　+ \frac{α(α+1)β(β+1)}{1・2γ(γ+1)}z^2
　　　　　+ \frac{α(α+1)(α+2)β(β+1)(β+2)}{1・2・3γ(γ+1)(γ+2)}z^3 + ...
の，α=β=1/2，γ=1 ，z = x^2 の場合になっています．

お礼

siegmundさん、再度ご回答いただき誠にありがとうございます。

展開して係数を決めるというやり方でやればよいのですね。

私は

\frac{1}{M(1+x,1-x)} = (1+t^2) \frac{1}{M(1+t^2,1-t-2)}

を繰り返し適用するというやり方でやろうとしていました。

超幾何関数と対応関係もよくわかりました。
本当にどうもありがとうございました。

回答No.1

siegmund

a,b の算術幾何平均 M(a,b) は
(1)　　　frac{1}{M(a,b)}
　　　　　= \frac{2}{\pai} \int_0^{\pai/2}
　　　　　 frac{d\theta}{\sqrt{a^2 \cos + b^2 \sin^2\theta}}
で表されます．
(1)の分母でａを外に引っ張り出すなどしますと
(2)　　　frac{1}{M(a,b)}
　　　　　= frac{2 K'(b/a)}{\pai a}
になります．
K'(k) = K(k') = K(\sqrt{1-k^2}) で，K は第一種完全楕円積分
(3)　　　K(k) = \int_0^{\pai/2} frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 \theta}}
です．
あとは，a = 1+x，b = 1-x と，K(k) の展開式
(4)　　　K(k) = \frac{\pai}{2} \sum_{r=0}^\infty
　　　　　　　　[ \frac{(2r-1)!!}{(2r)!!} ]^2 k^{2r}
を整理すれば，string さんの式が出てきます．

でも，(1)はどうやるんでしたっけ？
楕円 \vartheta_j 関数(j=0～3)の \vartheta_j(0|2\tau) を
\vartheta_n(0|\tau) で表す公式のどれかが算術平均と幾何平均の形になっていて，
そこがキーポイントになっていたと思います．
ちょっとよく思い出せません(というか，私の知識はそんなもの)．

どなたか楕円関数自由自在という方のフォローがあるといいんですが....

お礼

ご回答を頂き、誠にありがとうございます。

算術幾何平均と楕円積分の対応を認めれば、なるほど簡単な議論で導出されるのですね。

ガウスは、算術幾何平均の性質、

M(1+k,1-k) = \frac{1}{1+t^2} M(1+t^2,1-t^2)
ただし、　k = \frac{2t}{1+t^2}

から、展開式を導いたようです。それと、楕円積分を二項展開して積分した式が一致することから、（レムニスケート積分の時に発見した）楕円積分と算術幾何平均との対応を改めて確認していったようです。

算術幾何平均の性質から導出したいと知恵をしぼっております。
また、お助けください。