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テイラー展開の幾何学的意味について
- テイラー展開についてご説明します。テイラー展開は、ある関数を多項式で近似する方法です。具体的には、関数f(x)をある点aでの値f(a)と微分係数f'(a)、二階微分係数f''(a)などを使用して多項式で表現します。この多項式によって、関数の値を近似することができます。
- テイラー展開の幾何学的意味は、関数の値を近似するだけでなく、その近似によって得られる多項式が、関数のグラフとどの程度一致しているかを表しています。つまり、テイラー展開によって得られる多項式は、関数の接線や曲率半径といった幾何学的な性質を近似的に表現しています。
- 具体的な重み付けの式については、テイラー展開の公式によって定義されます。この公式では、微分係数や二階微分係数などの値を使用して多項式を構築しますが、重み付けによってそれぞれの微分係数に対する重要度を示しています。重み付けの具体的な値は、近似の精度や関数の性質によって異なる場合があります。
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とても面白い解釈をなさってますが、ちょっと違う。「→」でお書きの「置き換える」って操作をどういう意味だと考えるかです。実は平均を取ってる訳じゃありません。で、以下のような意味だと思えば話が合うんです。 ホントは f(a+h) = f(a)+ ∫{t=0～h}f'(a+t)dt である。それを1次近似では、 f'(a+t) ≒ f'(a) と近似する。従って、 f(a+h) ≒ f(a)+f'(a)∫{t=0～h}dt = f(a)+f'(a)h です。 2次近似では、ホントは f'(a+t) = f'(a)+ ∫{s=0～t}f''(a+s)ds であるものを f''(a+s) ≒ f''(a) と近似する。なので f'(a+t) ≒ f'(a)+ f''(a)∫{s=0～ｔ}ds = f'(a)+f''(a)ｔ である。 この近似を使って f(a+h) = f(a)+ ∫{t=0～h}f'(a+t)dt ≒ f(a)+ ∫{t=0～h}(f'(a)+f''(a)ｔ)dt = f(a)+ f'(a)h + f''(a)∫{t=0～h}ｔ dt = f(a)+ f'(a)h + f''(a)((h^2)/2) ここで１/2の因子が出てきたのは 関数tを積分したからです。三角形の面積に出てくる「てーへんかけるたかさわる 2」の2ですね。 3次近似ではホントは f''(a+s) = f''(a)+ ∫{u=0～s}f'''(a+u)du であるものを f'''(a+u)≒f'''(a) と近似する。なので f''(a+s)≒ f''(a)+ f'''(a)s これを使って f'(a+t) ≒f'(a)+ f''(a)t + f'''(a)((t^2)/2) さらにこれを使って f(a+h) = f(a)+ ∫{t=0～h}f'(a+t)dt ≒ f(a)+ f'(a)h+ f''(a)((h^2)/2) + f'''(a)((h^3)/6) って具合です。1/6 の因子は、関数((t^2)/2)を積分した結果出てきた。放物線の曲線下面積です。 簡単な例、たとえば多項式 f(x) = A[0]+A[1]x+A[2](x^2)+A[3](x^3)+A[4](x^4) のテイラー展開を丁寧に正直に計算して、その途中結果の式をグラフにしてみたりしながらお考えになれば、さらに見通しが良くなるかも知れません。
