２変数関数の最大・最小

質問

x,yの範囲を0≦x≦2 , 0≦y≦2としたとき、Pの最大値・最小値を求めよ。

これはチャートの重要例題なのですが、解法がわからないのでチャートに載っている解法を見たのですが、それでもわからないので質問させていただきます。
解答は以下の通りです。

P=(x-2y)^2+(y+1)^2+1…★　として
xとyが上記の範囲であるから
1≦y+1≦3, -4≦x-2y≦2　となり
1≦(y+1)^2≦9, 0≦(x-2y)^2≦16　となって…☆
ゆえに★より　y+1=3, x-2y=-4（すなわちx=0, y=2）のとき
Pの最大値はＰmax=16+9+1=26をとる。
（最小値は省略）

☆以降がよくわかりません。
まず 0≦(x-2y)^2≦16 になるというのがわからないです。
昨日、その上の段でつまってて質問させてもらったときは
理解できてたとおもったのですが、実際にとき始めると
つまってしまいました。
わかりやすい解説をお願いします。

回答No.1

kaede_h · ベストアンサー

ずいぶん混乱している様子ですね・・・ｗ
落ち着いて考えればどれも簡単な話ですよ。

＞-4≦x-2y≦2　となり 0≦(x-2y)^2≦16　となって…
の部分ですが、X=x-2y　とでもまとめて置いて考えてみてください。

（-4≦x-2y≦2より、）
-4≦X≦2において、Y=X^2の範囲はどうなりますか？

基本的な二次関数のグラフ(上に開いた放物線です)をイメージしてもらえれば、
0≦Y≦16（ つまりは0≦(x-2y)^2≦16 ）
となる意味がわかるかと思います。

ここまでくればもう解けたと同じですね。
＞1≦(y+1)^2≦9, 0≦(x-2y)^2≦16
と分かったので、一番大きいもの（最大値）をそれぞれ取って、足してあげれば
＞Ｐmax=16+9+1=26
という解答にたどり着けるはずです。

また、その際のx,yの値ですが、
y+1=3, x-2y=-4（すなわちx=0, y=2）のときにそれぞれ
(y+1)^2=9, (x-2y)^2=16　となるのですから、これも大丈夫ですよね。

頑張ってください。

回答No.2

mister_moonlight

＞まず 0≦(x-2y)^2≦16 になるというのがわからないです。

x-2y＝mとすれば、-4≦x-2y≦2　→　-4≦m≦2 の範囲で、Ｙ＝m＾2　のグラフを書けば、Ｙの値の範囲は求まるだろうよ。

＞1≦(y+1)^2≦9, 0≦(x-2y)^2≦16　となって

(y+1)^2＝9, (x-2y)^2＝16　が同時に成立すれば良いだけ。
但し、1≦y+1≦3, -4≦x-2y≦2　から　y+1＝3、x-2y＝-4　。