二変数関数の最大最小

質問

二変数関数f(x,y)=(x+2y+3)/(x^2+2y^2+3)の最大値を求める問題で、
k=x+2yとおきます。

基本的には解説を読んでわかったのですが「最大値を求めるのでx+2y+3＞0すなわちk＞-3」の範囲を考えればよい」という記述がわかりません。なぜ最大値だとこうなるのでしょうか。マイナスがつけばx軸対称になりますが別にそれでもかまいませんよね。個人的にはずべての十巣の範囲でやるべきだと思ってしまいますが、上のようになる理由を教えてください。

よろしくお願いします。

回答No.4

info22 · ベストアンサー

＃２です。
＞二変数関数f(x,y)=(x+2y+3)/(x^2+2y^2+3)の最大値を求める問題で、
参考までに、別の方法で最大、最小値を求めてみましたので、x+2y=kと置く方法の答えと答え合わせしてみてください。

別解【偏微分を使う方法】
∂f(x,y)/∂x＝∂f(x,y)/∂y＝0
から極大値と極小値をが求まります。
df(x,y)/dx=-{(x^2)-2(y^2)+4xy+6y-3}/{(x^2)+2(y^2)+3}^2
df(x,y)/dy=2{(x^2)-2(y^2)-2xy-6y+3}/{(x^2)+2(y^2)+3}^2
これから
(x^2)-2(y^2)+4xy+6y-3=0
(x^2)-2(y^2)-2xy-6y+3=0
連立方程式の実根の組を求めると
x=y=(√2)-1，-(√2)-1
これらの座標の付近でdf(x,y)/dxとdf(x,y)/dyの符号の変化を調べることで前者で極大値、後者で極小値を取ることが分かります。
実際にはf(x,y)の極大値が最大値、極小値が最小値になります。
x=y=(√2)-1で最大値は(1+√2)/2
x=y=-(√2)-1で最小値は(1-√2)/2
となります。
（数学ソフトのMaple10で3次元プロットして最大、最小を確認済みです）

お礼

みなさんありがとうございました。解決しました。辺微分とかは分かりませんが、とりあえずおかげで解決することが出来ました。。

回答No.3

einart

＞マイナスがつけばx軸対称になりますが別にそれでもかまいませんよね。

はい構いません。しかし計算は楽な方がいいでしょう。
ｘとｙの動く範囲を狭めて考えればよい範囲を決めています。
これは複雑難解な式になっていくと非常に大切なテクニックになります。
解説書はそういっているのでは？

回答No.2

info22

＞「最大値を求めるのでx+2y+3＞0すなわちk＞-3」の範囲を考えればよい」

分母：(x^2+2y^2+3)＞0 で, xとyは実数の範囲で任意の値を取れるわけだから、f(x,y)が最大値を取る様な実数の組（x,y)は、f(x,y)の分子を正にする範囲で考えればいいということです。
f(0,0)=3/3=1ですから、少なくても
f(x,y)=(x+2y+3)/(x^2+2y^2+3)≧1＞0　…(1)
となる実数の組(x,y)の領域が存在するということでしょう。
分母は全実数の(x,y)の領域で正ですから,(1)を満たすような(x,y)のゆるい範囲（領域）として分子:x+2y+3＞0なる範囲を考えれば、この領域内でf(x,y)を最大にする実数の組(x,y)が存在する。つまり、x+2y+3＞0で扱っても最大値は求められるということです。
x+2y+3=k+3＞0からk＞-3の範囲で実数の組(x,y)を考えれば、(x,y)の全実数範囲での最大値を与える(x,y)の組が必ずこの中に含まれているということですね。

回答No.1

hagy5217

実数ならばｘ＾２もｙ＾２も０以上、つまり分母が必ず正なので
分子も正のほうが負よりも必ず大きくなります。