３変数関数の最大最小

質問

x,y,zが原点中心半径１の球上をうごくときのx+2y+3zの最大最小ってどうやって求めますか?
=kとおいて球と平面が接するときで良さそうな気もしますが、平面と違ってイメージしづらく、あってる確信がありません。
出来るだけたくさんの解法を知りたいので三角関数や純粋に3変数関数としての処理の仕方があったら是非教えてください。よろしくお願いします。

回答No.4

info22 · ベストアンサー

球Ｏ：x^2+y^2+z^3=1
に平面α：x+2y+3z=k
が共有点を持つ範囲でkのとりうる最大値、最小値は
平面αが球Ｏに接する場合から求められる。
平面αは球Ｏに接する時、接点P,Qを通る法線が球の中心(0,0,0)を通る事から
法線は媒介変数表示で
(x,y,z)=(t,2t,3t)
と書ける。この関係式を球Ｏの式に代入すると
t^2(1+4+9)=1
これから、t=±1/√14
t=1/√14のとき、接点は(x,y,z)=(1/√14,2/√14,3/√14)であり
この時 k(max)=x+2y+3z=(1+4+9)/√14=√14
が求まります。
また同様にして,
t=-1/√14のとき、接点:(x,y,z)=(-1/√14,-2/√14,-3/√14)と
最小値 k(min)=x+2y+3z=(-1-4-9)/√14=-√14
が得られます。

参考URLの極座標でr=1として
k=x+2y+3z=sin(t)*cos(p)+2*sin(t)*sin(p)+3*cos(t)=f(p,t)
(0≦p≦π,-π≦t≦π)
(p=θ,t=φとおいています）
に直しても解けます
ここからは偏微分を使いますので高校生には難しいですね。
f_p(p,t)=0,f_t(p,t)=0の解から
最大、最小となる(p,t)をピックアップすると
（f_pp(p,t)と判別式で鞍点は除外する）
k(max)=f(arctan(2),arctan(√5/3))=√14
k(min(=f(arctan(2)-π,π-arctan(√5/3))=√14
が得られます。

参考URL：

http://www14.plala.or.jp/phys/tools/7.html

回答No.3

at9_am

多分、一番メジャーな解き方をば一つ。

x + 2y + 3z = k は平面になります（この平面を平面 A とします）。
この平面と原点の距離が 1 より小さいときに、球と平面が交点を持ち、1 の時に k が最大となります。

ここで、平面 A と垂直で原点を通る直線を考えると、平面 A の法線ベクトルが (1, 2, 3) ですから、原点と (1, 2, 3) を結ぶ直線になります。式で表せば
x=t
y=2t
z=3t
ですね。

この直線上で原点との距離が１より小さければ良い訳ですから、
x^2 + y^2 + z^2 ≦ 1
t^2 + 4t^2 + 9t^2 = 14 t^2 ≦ 1
となり、結局、t^2 ≦ 1/14 から -1/√14 ≦ t ≦ 1/√14 となります。
したがって
x + 2y + 3z = t + 4t + 9t = 14 t = k
から
-√14 ≦ k ≦ √14
を得ることが出来ます。

因みにこの方法は、球と平面の接するとき、というのと、ちょっと目先が変わっているだけで同じ事をしています。

回答No.2

eringui

平面と球が接するときを考える解法が一番早くて高校生らしい解き方だと思います^^
でも他の解法も、ということなので、少々高校の範囲を逸脱しますが3次元の極座標変換による解き方も紹介しましょう。

まず、x=sinθcosφ, y=sinθsinφ, z=cosθとおきます。(0≦θ≦π, 0≦φ≦2π)
φは（ファイ）と読みます。x^2+y^2+z^2=1を満たすことを確かめてください。
これによりx+2y+3zはθ,φの2変数で表すことができます。
この置き方の図形的な意味は、ググってもらえればたくさんでるかと；

あとは2変数関数
f(θ,φ)=sinθcosφ+2sinθsinφ+3cosθ
の極大値を求めればいいのですが、それには偏微分をしないと難しいものがあります。
ここからは大学の解析の範囲なので割愛させてもらいますね；

ちなみに、これ結局解けませんでしたorz
問題によっては解けるのかもしれませんが、これは計算が鬼です。
3次元極座標の紹介だけ、ってことで。役立たずですみません；

回答No.1

kkkk2222

Cauchy-Schwarz
[x^2+y^2+z^2][a^2+b^2+c^2]≧[ax+by+cy]^2

a=1,b=2,c=3 と置いて、

[1][(1^2)+(2^2)+(3^2]≧[1x+2y+3y]^2

-√14≦[1x+2y+3y]≦√14