正規変換のスペクトル分解についてです！

質問

ＴがＶの正規変換であるとき、
Ｔの相異なる固有値全部をβ[1],β[2],・・・,β[k]とし、
対応する固有空間をＷ[1],Ｗ[2],・・・,Ｗ[k]とする。
Ｖはこれらの部分空間の直和である。
Ｗ[i]への射影子をＰ[i]とすれば、明らかに
Ｐ[1]+Ｐ[2]+・・・+Ｐ[k]=Ｅ(単位行列)
（Ｐ[i]Ｐ[j])(x)=０　ｘ∈Ｖ
Ｔ＝β[1]Ｐ[1]＋β[2]Ｐ[2]＋・・・β[k]Ｐ[k]
が成立。これを正規変換Ｔのスペクトル分解という。

ここで、Ｔの随伴変換Ｔ^*が
Ｔ^*＝β^*[1]Ｐ[1]＋β^*[2]Ｐ[2]＋・・・β^*[k]Ｐ[k]
となる理由が分からず困っています。
（β^*[1]は実質、β^*[1]の共役な複素数ですが・・。）

結果から、ｘ∈Ｖに対して
Ｔ^*(x)
＝(β^*[1]Ｐ[1]＋β^*[2]Ｐ[2]＋・・・β^*[k]Ｐ[k])(x)
＝β^*[1]Ｐ[1](x)＋β^*[2]Ｐ[2](x)＋・・・β^*[k]Ｐ[k](x)

一方
Ｔ^*(x)
＝(β[1]Ｐ[1]＋β[2]Ｐ[2]＋・・・β[k]Ｐ[k])^*(x)

なので、結局

Ｔ^*(x)
＝(β[1]Ｐ[1]＋β[2]Ｐ[2]＋・・・β[k]Ｐ[k])^*(x)
＝(β^*[1]Ｐ^*[1]＋β^*[2]Ｐ^*[2]＋・・・β^*[k]Ｐ^*[k])(x)
ここで、Ｐはエルミート変換より
＝(β^*[1]Ｐ[1]＋β^*[2]Ｐ[2]＋・・・β^*[k]Ｐ[k])(x)
よって
Ｔ^*＝β^*[1]Ｐ[1]＋β^*[2]Ｐ[2]＋・・・β^*[k]Ｐ[k]

のように、いわば"*"が分配できれば証明できるなと思ったのですが、なぜ分配できるのか？といわれるとなぜだかわかりません。Ｔが行列なら分配できるのは明らかですが・・。

どなたかこの証明わかるかたいらっしゃいましたら解答よろしくお願い致ししますm(_ _)m

回答No.1

de_Raemon · ベストアンサー

変換AとBに対して(A+B)^*は随伴変換の定義から(齋藤:線型代数入門p139)

((A+B)^*(x),y)＝(x,(A+B)(y)) (1)

一方で(1)の右辺は

(x,(A+B)(y))＝(x,A(y)+B(y))＝(x,A(y))+(x,B(y))＝(A^*(x),y)+(B^*(x),y)＝((A^*+B^*)(x),y) (2)

(1)(2)から

((A+B)^*(x),y)＝((A^*+B^*)(x),y) (3)

なので"*"は分配できて

(A+B)^*＝A^*+B^* (4)

です。

お礼

回答ありがとうございます！
斎藤先生の線形代数入門を使って予習していたので、助かりました。
質問の内容も納得できました。
ありがとうございます。